Jacobi多項式の対称性について
区間$(0,1)$における重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$に関する, Jacobi多項式を
\begin{align*}
\rho_n^{(a,b)}(x):=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k
\end{align*}
今回は以下の等式を示す.
\begin{align*} \rho_n^{(a,b)}(1-x)&=(-1)^n\rho_n^{(b,a)}(x) \end{align*}
区間$(0,1)$において, $\rho_n^{(a,b)}(x)$は重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$の直交多項式であるから, $\rho_n^{(a,b)}(1-x)$は重み関数$t^{b-1}(1-t)^{a-1}$の直交多項式である. よって, 同じ区間と重み関数の直交多項式系は定数倍を除いて等しいので, 各$n$に対して, $\rho_n^{(a,b)}(1-x)=C_n\rho_n^{(b,a)}(x)$となる定数$C_n$がある. $x=1$とすると, $\rho_n^{(a,b)}(0)=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}$であり, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align*}
\rho_n^{(b,a)}(1)&=(-1)^n\frac{(b)_n}{n!}\frac{(1-n-a)_n}{(b)_n}\\
&=\frac{(a)_n}{n!}
\end{align*}
である. よって, $C_n=(-1)^n$となることが分かる.
上の証明では同じ区間と重み関数の直交多項式系が等しいことを用いたが, より直接的に$\rho_n^{(a,b)}(1-x)$に現れる$1-x$の累乗を二項定理で展開しても示すことができる. よく用いられる区間$(-1,1)$において重み関数$(1-x)^a(1+x)^b$のJacobi多項式$P_n^{(a,b)}(x)$においては, この対称性は$P_n^{(a,b)}(-x)=(-1)^nP_n^{(b,a)}(x)$と表される. 特に$a=b$の場合, Jacobi多項式はその次数に応じて偶関数か奇関数になり, 定数倍でGegenbauer多項式に一致する.
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