今回は連分数です。連分数とは、整数
のように表せる、分数の中に分数が連なっているような数です。特に、任意の
ある数が有理数であることと、その数を正則連分数として表した時に、有限の項で終わることは同値です。
逆に言えば、無理数を正則連分数で表すと、無限に下に項が伸びていきます。
また、ある無理数の正則連分数展開が与えられていた時、有限項で打ち切って計算していくと、元の数の良い有理近似を得ることができます。
黄金比として知られる数、
なにかと美しいといわれる黄金比ですが、連分数でもこのような非常にシンプルな表示を持っているようですね。
ちなみに、方程式
他にも、
などの連分数表示があります。
小数展開では規則性のないように見える無理数を、規則性の持つ表示に変えてしまうのが、連分数の魅力です。
今回用意したのは、次の数です。
これは、冒頭の一般の連分数表示の、
そして、実は、
では導出していきましょう。
まず、関数
(厳密には、数列
という漸化式を満たすような数列として定義し、
ここで、上の関係式を見ると、
です。2次方程式の解の公式を用いて、
元々
これで、連分数で表された
いずれにせよ、今回は気にしないでおきます。
さて、
ですから、分数の分子分母に
そして、新たに出てきた
の分子分母に
となるので、
です。再び、
となり、
同様の操作を続けていくと、
という表示が得られます。見出しが「同値変形?」となっているのは、この"分子分母に
ここで、
となりますが、先ほど
よって、
と導出できました。
(ちなみに、
というのも、元々この問題は、友人に解いてもらう目的で作ったものでした。そのため、答えが有理数では、数学的に考察せず、ただ計算機に入れただけで答えが簡単に分かってしまうので、骨折り損になってしまいます。)
今回の問題はいかがだったでしょうか。巷にあふれるイテレーション型問題(指数の肩に無限に数が乗っていたり、根号の中に無限に根号が連なっていたりなど、同じ操作を繰り返して得られる等式ないし数の求値問題、の意味で用いています)の多くは、同型出現を使って閉じた形に直して解いています。特に連分数はそのような解き方がほとんどでしたので、ひとひねり加えた問題を作ってみました。
今回は直接値を代入しただけですが、微分をしても面白いかもしれません。合成関数の微分法を用いたら、連分数の無限積の形に出来ますね。
いつかチャレンジしてみます。