昔の東進数学コンクールの整数の問題

上の問題を考えます
間違ってたら教えてください
(方針)
流石に$N$を定めて$a_m,m^3$を求めるのは難しそうなので
ある$4$で割って$3$余る素因数を持たない整数$x$,整数$y$をうまく構成すると
任意の正の奇数$N$は$N=x-y^3$の形で表されるということを示す方針で行きます
また

(証明略)
補題から
$x=f^2+g^2$$($$f,g$は整数で共通素因数として$p$を持たない$)$で表される整数をうまく使って証明して解きたい
ここで,正の奇数をすべて得るには等差数列的な感じで構成出来れば解けそう
(逆にそれ以外だとかなりむずかしそう)
ここで
$t$の整数係数多項式$f(t),g(t),y(t)$が
$(f(t))^2+(g(t))^2-(y(t))^3$が一次式の恒等式になるような$f,g,y$を考えます
(解)
$(f(t),g(t),y(t))=(t^3-3t^2+t,t^2-t-1,t^2-2t),x(t)=f(t)^2+g(t)^2$($t$は整数)と定める
このとき$(f(t))^2+(g(t))^2-(y(t))^3=2t+1$
$f,g$最大公約数を考える
$t=0$の場合が少しめんどくさいので
計算すると
$(f,g)=(0,1)$で$4$で割って$3$余る素因数を持たない

$gcd(f(t),g(t))=gcd(t^3-3t^2+t,t^2-t+1)$
$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $ $=gcd(t^2-3t+1,t^2-t+1)$
$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $ $=gcd(t^2-3t+1,2t)$
$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $ $=gcd(t^2-3t+1,t)$$(\because t^2-3t+1≡1(mod2))$
$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $ $=1$
以上より$f(t),g(t)$は任意の整数$t$について互いに素
よって補題$1$から$x(t)(=(f(t))^2+(g(t))^2)$は$4$で割って$3$余る素因数を持たず
任意の正の奇数$N$について
$t=\frac{N-1}{2} \in \mathbb{Z} $のとき$a_m=x(t),m=y(t)$とすれば条件を満たす