バーゼル問題の解決その後のその後ζ(6)改

［方針０］
$$ \quad \frac{1}{(2n+1)^6} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^6{ \frac{k\pi}{2n+1} }}<\frac{1}{\pi^6} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^6} <\frac{1}{(2n+1)^6} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{\tan^2{ \frac{k\pi}{2n+1} }}+1 )^3$$
「ハサミウチの原理」を使う上で，
$$ \quad \frac{1}{(2n+1)^6} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^6{ \frac{k\pi}{2n+1} }} $$
$$ \quad \frac{1}{(2n+1)^6} (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^6{ \frac{k\pi}{2n+1} }} +3 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^4{ \frac{k\pi}{2n+1} }} +3 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^2{ \frac{k\pi}{2n+1} }}+\sum_{k=1}^{n}1)$$

の極限をとるので，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^6{ \frac{k\pi}{2n+1} }} $$
の$n^6$の係数を意識する：
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\tan^6{ \frac{k\pi}{2n+1} }} =An^6+o_1(n^6)$$
が示せれば，「これまで」から，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{\tan^2{ \frac{k\pi}{2n+1} }}+1 )^3=An^6+o_2(n^6) $$
ともいえる．
ここで，$o_1(n^6),o_2(n^6)$は５次以下の$n$の多項式でランダウの表現を借りている：
$$ \quad \lim_{n \to \infty} \frac{o(n^6)}{n^6}=0 $$
（以降も同様．ことわらない．）
すると，
$$ \quad \frac{A\pi^6}{2^6} $$
が目的の値となる．

［準備１］
$$ \quad x_k= \frac{1}{\tan^2{ \frac{k\pi}{2n+1} }} \quad (k=1,2,\cdots ,n)$$
としている．
「解と係数の関係」を用いるために，次の恒等式を使う．
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k^3= \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace^3-3\lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace\lbrace \sum_{i< j}^{} x_ix_j \rbrace+3\sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k $$
［準備１の導出］
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k^2= \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace^2-2\sum_{i< j}^{} x_ix_j $$
$$ \quad \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace\lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \rbrace=\sum_{k=1}^{n} x_k^3+\sum_{i \neq j}^{} x_i^2x_j $$
$$ \quad \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace\lbrace \sum_{i< j}^{} x_ix_j \rbrace=\sum_{i \neq j}^{} x_i^2x_j +3\sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k $$
これらから，成り立つ．
［準備２］
「解と係数の関係」を確認する．
$n$次方程式$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+a_3x^{n-3}+ \cdots +a_n$=0について，解を，$x_1,x_2,\cdots ,x_n$とすると，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k=- \frac{a_1}{a_0},$$
$$ \quad \sum_{i < j}^{} x_ix_j =\frac{a_2}{a_0} , $$
$$ \quad \sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k= -\frac{a_3}{a_0} $$
［準備３］
$$ \quad　x_k= \frac{1}{\tan^2{ \frac{k\pi}{2n+1} }} \quad (k=1,2,\cdots ,n)$$
が，方程式
$$ \quad \sum_{r=0}^{n} {}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2r}(-1)^{n-r}x^r=0 $$
の解なので，［準備２］から，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k= \frac{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n-2}}{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n}}=\frac{n(2n-1)}{3} $$
$$ \quad \sum_{i < j}^{} x_ix_j =\frac{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n-4}}{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n}}=\frac{n(n-1)(2n-1)(2n-3)}{30} $$
$$ \quad \sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k= \frac{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n-6}}{{}_{2n+1} \mathrm{ C }_{2n}}=\frac{n(n-1)(n-2)(2n-1)(2n-3)(2n-5)}{630} $$
［展開］
［準備１］の式で，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k^3= \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace^3-3\lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace\lbrace \sum_{i< j}^{} x_ix_j \rbrace+3\sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k $$
それぞれ，
$$ \quad \lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace^3= \frac{8}{27}n^6+o_3(n^6)$$
$$ \quad -3\lbrace \sum_{k=1}^{n} x_k \rbrace\lbrace \sum_{i< j}^{} x_ix_j \rbrace=-3( \frac{2}{3} )( \frac{4}{30})n^6+o_4(n^6)=-\frac{8}{30}n^6+o_4(n^6)$$
$$ \quad 3\sum_{i< j< k}^{} x_ix_jx_k =3( \frac{8}{630} )n^6+o_5(n^6)= \frac{8}{210}n^6+o_5(n^6)$$
なので，
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k^3= ( \frac{8}{27}- \frac{8}{30}+\frac{8}{210})n^6+o_6(n^6) $$
$$ \quad \sum_{k=1}^{n} x_k^3= \frac{64}{945}n^6+o_6(n^6) $$
以上から，［方針０］の$A$について，
$$ \quad A=\frac{64}{945}.$$
よって，
$$ \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^6}= \frac{ \pi^6 }{945} ．$$
証明された．□□