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放物線に接する円(中心は軸上)を「二手」で作図する

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1. 方法

 放物線Pおよびその焦点F、そして軸上の点Aが与えられたとき、Aを中心としてPに接する円は、

  1. Fを中心として、Aを通る円Cを描く
  2. Aを中心として、放物線Pと円Cの交点を通る円Γを描く

二手で作図できます。

2. 証明

 準線をlPCの交点(の片方)をTとします。Tからlに下ろした垂線の足をHとすると、放物線の定義よりTH=TFです。また、円Cの定義よりFT=FAです。よってTH=FAとなるので、四角形ATHF平行四辺形となります。
 四角形ATHFが平行四辺形なので、AT//FHです。ここで、Tを通りATに垂直な直線tを考えると、tFHであり、放物線の定義よりTH=TFであったので、tは線分FHの垂直二等分線です。

 t上のT以外の点Tを考えます。tは線分FHの垂直二等分線なのでTF=THですが、Tから準線lに下ろした垂線の足をHとするとTHTHなので、TFTHとなります。したがって、放物線の定義より、Tを除く任意のTP上にないので、tは放物線PTにおける接線となります(有名な性質です)。
 tは円ΓTにおける接線でもあるので、以上より放物線Pと円ΓTで接することが示せました。

3. 補足

 放物線Pと円Cが共有点を持たない時は、Aを中心としてPに接する円は、自明解である、頂点で接する円しかありません。
 放物線P上で焦点Fから一番近い点は頂点であり、PCが頂点で接する時は、Aを中心としてPに接する円は頂点で接する円のみですが、これは曲率円となります。

投稿日:2024130
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Ebishu
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