1. 方法
放物線およびその焦点、そして軸上の点が与えられたとき、を中心としてに接する円は、
- を中心として、を通る円を描く
- を中心として、放物線と円の交点を通る円を描く
の二手で作図できます。
2. 証明
準線を、との交点(の片方)をとします。からに下ろした垂線の足をとすると、放物線の定義よりです。また、円の定義よりです。よってとなるので、四角形は平行四辺形となります。
四角形が平行四辺形なので、です。ここで、を通りに垂直な直線を考えると、であり、放物線の定義よりであったので、は線分の垂直二等分線です。
上の以外の点を考えます。は線分の垂直二等分線なのでですが、から準線に下ろした垂線の足をとするとなので、となります。したがって、放物線の定義より、を除く任意のは上にないので、は放物線のにおける接線となります(有名な性質です)。
は円のにおける接線でもあるので、以上より放物線と円がで接することが示せました。
3. 補足
放物線と円が共有点を持たない時は、を中心としてに接する円は、自明解である、頂点で接する円しかありません。
放物線上で焦点から一番近い点は頂点であり、とが頂点で接する時は、を中心としてに接する円は頂点で接する円のみですが、これは曲率円となります。