2つの合同な30°、60°、90°の直角三角形でできた長方形の面積と、正三角形の面積の関係

$\LARGE{⊿ABC}$と$\LARGE{⊿CDA}$は合同であり、$\LARGE{ABCD}$は$\LARGE{長方形}$なので、$\LARGE{AC}$は$\LARGE{ABCDの対角線}$であることが分かります。
そのため、

$\LARGE{AC＝BD}$

です。
また、$\LARGE{AB＝DC}$、$\LARGE{AD＝BC}$であり、$\LARGE{⊿ABC}$と$\LARGE{⊿DCB}$は、$\LARGE{三組の辺の長さが等しい}$ため、$\LARGE{合同な直角三角形}$であることが分かります。$\LARGE{∠DCB＝90°}$なので、$\LARGE{⊿DCB}$は$\LARGE{⊿ABC}$を、$\LARGE{Eを軸に折り返した図形}$であることが分かります。
そのため、$\LARGE{∠CAB＝∠CDB}$、$\LARGE{∠BCA＝∠DBC}$であり、

$\LARGE{∠CDB＝∠CDE}$

$\LARGE{＝30°}$

$\LARGE{∠DBC＝∠EBC}$

$\LARGE{＝60°}$

です。

$\LARGE{∠DCA＝∠DCE}$

$\LARGE{＝90°－60°}$

$\LARGE{＝30°}$

なので、

$\LARGE{∠DEC＝180°－30°×2}$

$\LARGE{＝180°－60°}$

$\LARGE{120°}$

であり、$\LARGE{⊿DEC}$は$\LARGE{DE＝EC}$の$\LARGE{二等辺三角形}$であることが分かります。また、$\LARGE{∠BEA}$は$\LARGE{∠DECの対頂角}$に当たります。$\LARGE{対頂角の関係にある角は等しい}$ので、$\LARGE{∠BEA＝∠DEC}$であり、

$\LARGE{∠BEA＝120°}$

です。さらに、$\LARGE{∠ABD＝∠ABE}$は、$\LARGE{∠CDBの錯角}$に当たります。$\LARGE{錯角の関係にある角は等しい}$ので、$\LARGE{∠ABD＝∠CDB}$であり、

$\LARGE{∠ABD＝30°}$

です。$\LARGE{⊿BEA}$は、$\LARGE{BE＝EA}$の$\LARGE{二等辺三角形}$であることが分かります。そして、$\LARGE{AB＝DC}$であり、$\LARGE{⊿DEC}$と$\LARGE{⊿BEA}$は$\LARGE{対応する辺の長さが等しい}$ので、$\LARGE{合同な二等辺三角形}$であることが分かります。
そのため、$\LARGE{EA＝BEかつBE＝ECかつEC＝DE}$であり、さらに、

$\LARGE{⊿DECの面積＝⊿BEAの面積}$

です。

$\LARGE{∠CEB＝180°－60°×2}$

$\LARGE{＝180°－120°}$

$\LARGE{＝60°}$

であり、$\LARGE{⊿CEB}$は$\LARGE{正三角形}$であることが分かります。そのため、$\LARGE{EB＝BC}$です。
また、$\LARGE{AD=BC}$なので、$\LARGE{⊿DAE}$と$\LARGE{⊿CEB}$は、$\LARGE{三組の辺の長さが等しい、合同な正三角形}$であることが分かります。
そのため、

$\LARGE{⊿DAEの面積＝⊿CEBの面積}$

です。

$\LARGE{⊿ABC}$は$\LARGE{⊿BEA}$と$\LARGE{⊿CEB}$で構成されており、$\LARGE{CE＝EA}$なので、$\LARGE{E}$は$\LARGE{ACを二等分する点}$であることが分かります。また、$\LARGE{高さ}$は$\LARGE{⊿BEA}$も$\LARGE{⊿CEB}$も$\LARGE{共通}$であるため、

$\LARGE{⊿BEAの面積＝⊿CEBの面積}$

です。$\LARGE{ABCD}$は、$\LARGE{面積が等しい4つの三角形}$で構成されていることが分かります。

$\LARGE{⊿BEA}$と$\LARGE{合同な図形3つ}$を、$\LARGE{角が120°の頂点を重ねて、面積が重ならないように並べる}$と、$\LARGE{一辺がABの正三角形と合同な図形}$になることが分かります。
そのため、

$\LARGE{⊿BEAの面積×3＝一辺がABの正三角形の面積}$

です。
また、

$\LARGE{ABCDの面積× \frac{1}{4} ＝⊿CEBの面積}$

であり、$\LARGE{一辺がBCの正三角形の面積}$になることが分かります。
$\LARGE{ABCDの面積}$を$\LARGE{比}$で表すと、

$\LARGE{⊿BEAの面積×3：⊿CEBの面積}$

$\LARGE{⊿BEAの面積×3：⊿BEAの面積}$

$\LARGE{＝一辺がABの正三角形の面積：一辺がBCの正三角形の面積}$

$\LARGE{＝一辺がヨコの正三角形の面積：一辺がタテの正三角形の面積}$

$\LARGE{＝3：1}$

となります。