8ψ8の部分和の隣接関係式
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g):=\sum_{m\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e,f,g;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_n}q^n
\end{align}
と定義する.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)\\
&=-\frac{efg}{a^2(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{efg(1-efgq^m/a)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)(aq/e,aq/f,aq/g;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/d;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{(1-e)(1-f)(1-g)(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/cd)}{(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)}\Omega_m(aq|b,c,d,eq,fq,gq)
\end{align}
が成り立つ.
Abelの補題
\begin{align}
\sum_{m\leq k}B_k(A_k-A_{k-1})=\lim_{n\to\infty}A_nB_{n+1}-A_{m-1}B_{m}+\sum_{m\leq k}A_k(B_k-B_{k+1})
\end{align}
において
\begin{align}
A_n&=\frac{(eq,fq,gq,a^2q/efg;q)_n}{(aq/e,aq/f,aq/g,efgq/a;q)_n}\\
B_n&=\frac{(b,c,d,a^2q^2/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,bcd/aq;q)_n}
\end{align}
とすると, 直接計算により
\begin{align}
A_n-A_{n-1}&=-\frac{a^2(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)}{efg(1-e)(1-f)(1-g)(1-a^2/efg)}\frac{(1-aq^{2n})(e,f,g,a^2/efg;q)_n}{(aq/e,aq/f,aq/g,efgq/a;q)_n}q^n\\
B_n-B_{n+1}&=\frac{(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/cd)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/bcd)}\frac{(1-aq^{2n+1})(b,c,d,a^2q^2/bcd;q)_n}{(aq^2/b,aq^2/c,aq^2/d,bcd/a;q)_n}q^n
\end{align}
となるので,
\begin{align}
&-\frac{a^2(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)}{efg(1-e)(1-f)(1-g)(1-a^2/efg)}\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)\\
&=\frac{(b,c,d,eq,fq,gq;q)_{\infty}}{(1-a^2/efg)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}-\frac{(eq,fq,gq,a^2q/efg;q)_{m-1}}{(aq/e,aq/f,aq/g,efgq/a;q)_{m-1}}\frac{(b,c,d,a^2q^2/bcd;q)_{m}}{(aq/b,aq/c,aq/d,bcd/aq;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/cd)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/bcd)}\Omega_m(aq|b,c,d,eq,fq,gq)
\end{align}
を得る. 両辺を
\begin{align}
-\frac{a^2(1-ef/a)(1-eg/a)(1-fg/a)}{efg(1-e)(1-f)(1-g)(1-a^2/efg)}
\end{align}
で割って整理すると示すべき等式を得る.
定理1の$e,f,g$を$d,e,g$や$d,e,f$に選ぶと
\begin{align}
&\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)\\
&=-\frac{deg}{a^2(1-de/a)(1-dg/a)(1-eg/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{deg(1-degq^m/a)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-de/a)(1-dg/a)(1-eg/a)(aq/d,aq/e,aq/g;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/f;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{(1-d)(1-e)(1-g)(1-aq/bc)(1-aq/bf)(1-aq/cf)}{(1-de/a)(1-dg/a)(1-eg/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/f)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,f,gq)\\
&=-\frac{def}{a^2(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{def(1-defq^m/a)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)(aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/g;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{(1-d)(1-e)(1-f)(1-aq/bc)(1-aq/bg)(1-aq/cg)}{(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/g)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,fq,g)
\end{align}
となる. 2つの表示の差を考えて,
\begin{align}
0&=-\frac{de}{a^2(1-de/a)}\left(\frac g{(1-dg/a)(1-eg/a)}-\frac f{(1-df/a)(1-ef/a)}\right)\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{de(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-de/a)(aq/d,aq/e;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/f,aq/g;q)_{m}}\\
&\qquad\cdot\left(\frac{g(1-degq^m/a)(1-aq^m/g)}{(1-dg/a)(1-eg/a)}-\frac{f(1-defq^m/a)(1-aq^m/f)}{(1-df/a)(1-ef/a)}\right)\\
&\qquad+\frac{(1-d)(1-e)(1-g)(1-aq/bc)(1-aq/bf)(1-aq/cf)}{(1-de/a)(1-dg/a)(1-eg/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/f)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,f,gq)\\
&\qquad-\frac{(1-d)(1-e)(1-f)(1-aq/bc)(1-aq/bg)(1-aq/cg)}{(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/g)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,fq,g)\\
&=\frac{de(f-g)(1-defg/a^2)}{a^2(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)(1-dg/a)(1-eg/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{de(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-de/a)(aq/d,aq/e;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/f,aq/g;q)_{m}}\\
&\qquad\cdot\frac{(g-f)(1-defg/a^2)(1-dq^m)(1-eq^m)}{(1-df/a)(1-dg/a)(1-ef/a)(1-eg/a)}\\
&\qquad+\frac{(1-d)(1-e)(1-g)(1-aq/bc)(1-aq/bf)(1-aq/cf)}{(1-de/a)(1-dg/a)(1-eg/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/f)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,f,gq)\\
&\qquad-\frac{(1-d)(1-e)(1-f)(1-aq/bc)(1-aq/bg)(1-aq/cg)}{(1-de/a)(1-df/a)(1-ef/a)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/g)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,fq,g)
\end{align}
この両辺を
\begin{align}
\frac{(1-d)(1-e)(1-aq/bc)}{(1-de/a)(1-aq/b)(1-aq/c)}
\end{align}
で割ると,
\begin{align}
0&=\frac{de(f-g)(1-aq/b)(1-aq/c)}{a^2(1-df/a)(1-ef/a)(1-dg/a)(1-eg/a)}\frac{(b,c,dq,eq,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{de(g-f)(1-aq/b)(1-aq/c)(b,c,dq,eq,f,g;q)_{m}}{a^2(1-df/a)(1-dg/a)(1-ef/a)(1-eg/a)(aq/d,aq/e;q)_{m-1}(aq/b,aq/c,aq/f,aq/g;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{(1-g)(1-aq/bf)(1-aq/cf)}{(1-dg/a)(1-eg/a)(1-aq/f)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,f,gq)\\
&\qquad-\frac{(1-f)(1-aq/bg)(1-aq/cg)}{(1-df/a)(1-ef/a)(1-aq/g)}\Omega_m(aq|b,c,dq,eq,fq,g)
\end{align}
$a\mapsto a/q,d\mapsto d/q,e\mapsto e/q$として
\begin{align}
0&=\frac{de(f-g)}{a^2(1-a/f)(1-a/g)(1-df/a)(1-ef/a)(1-dg/a)(1-eg/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{de(g-f)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-a/f)(1-a/g)(1-df/a)(1-dg/a)(1-ef/a)(1-eg/a)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{m-1}}\\
&\qquad+\frac{(1-g)(1-a/bf)(1-a/cf)}{(1-dg/a)(1-eg/a)(1-a/f)}\Omega_m(a|b,c,d,e,f,gq)\\
&\qquad-\frac{(1-f)(1-a/bg)(1-a/cg)}{(1-df/a)(1-ef/a)(1-a/g)}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq,g)
\end{align}
となる. $\Omega_m(a|b,c,d,e,f,gq)$に関して整理すると,
\begin{align}
&\Omega_m(a|b,c,d,e,f,gq)\\
&=-\frac{de(f-g)}{a^2(1-g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/g)(1-df/a)(1-ef/a)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad-\frac{de(g-f)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{a^2(1-a/g)(1-g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-df/a)(1-ef/a)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{m-1}}\\
&\qquad+\frac{(1-dg/a)(1-eg/a)(1-a/f)(1-f)(1-a/bg)(1-a/cg)}{(1-g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-df/a)(1-ef/a)(1-a/g)}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq,g)\\
&=-\frac{1-g/f}{f(1-g)(1-a/g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{(1-g/f)(b,c,d,e,f,g;q)_{m}}{f(1-g)(1-a/g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{m-1}}\\
&\qquad+\frac{g^2(1-f)(1-a/f)(1-a/bg)(1-a/cg)(1-a/dg)(1-a/eg)}{f^2(1-g)(1-a/g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq,g)
\end{align}
$g\mapsto g/q$として以下を得る.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)\\
&=-\frac{1-g/fq}{f(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)}\frac{(b,c,d,e,f,g;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{(1-g/fq)(b,c,d,e,f;q)_{m}(g;q)_{m-1}}{f(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_{m-1}(aq/g;q)_{m}}\\
&\qquad+\frac{g^2(1-f)(1-a/f)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)}{f^2q^2(1-g/q)(1-aq/g)(1-a/bf)(1-a/cf)(1-a/df)(1-a/ef)}\Omega_m(a|b,c,d,e,fq,g/q)
\end{align}
が成り立つ.
古典極限
以下, $1+3a=b+c+d+e+f+g$となるものに対して, あらためて
\begin{align}
\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g):=\sum_{m\leq n}\frac{(2n+a)(b,c,d,e,f,g)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g)_n}
\end{align}
とする. 定理1, 定理2の古典極限を考えると以下を得る.
$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
&\Omega_m(a|b,c,d,e,f,g)\\
&=-\frac{1}{(e+f-a)(e+g-a)(f+g-a)}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\\
&\qquad+\frac{(e+f+g-a+m)(b,c,d,e,f,g)_{m}}{(e+f-a)(e+g-a)(f+g-a)(1+a-e,1+a-f,1+a-g)_{m-1}(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_{m}}\\
&\qquad+\frac{efg(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}{(e+f-a)(e+g-a)(f+g-a)(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)}\Omega_m(a+1|b,c,d,e+1,f+1,g+1)\\
&=-\frac{g-f-1}{(a-b-f)(a-c-f)(a-d-f)(a-e-f)}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\\
&\qquad+\frac{(g-f-1)(b,c,d,e,f)_{m}(g)_{m-1}}{(a-b-f)(a-c-f)(a-d-f)(a-e-f)(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_{m-1}(1+a-g)_{m}}\\
&\qquad+\frac{f(a-f)(1+a-b-g)(1+a-c-g)(1+a-d-g)(1+a-e-g)}{(g-1)(1+a-g)(a-b-f)(a-c-f)(a-d-f)(a-e-f)}\Omega_m(a|b,c,d,e,f+1,g-1)
\end{align}
が成り立つ.
