三角形の内角が180度である証明を作る試み

新しい、三角形の内角が180度である証明を作る試みです
新しいかどうかはしりません
十中八九既知でしょう
そして作る試みとはいっても思考の過程ではなく証明を書きます

3辺の方向が分割する半回転

１．三角形を座標平面に

三角形$ABC$を、頂$C$が直線$AB$の上側にくるように置く
座標を適当に選び、
$$A=(0,0), \quad B=(1,0), \quad C=(x,y) \quad (y>0)$$
とする
次の2つの方向角を定める

• $\theta$：正の$x$軸から、ベクトル$\overrightarrow{AC}$まで反時計測った角度
• $\phi$：正の$x$軸から、ベクトル$\overrightarrow{BC}$まで反時計測った角度

どちらのベクトルも上向きの成分を持つので
$$0°<\theta,\phi<180°$$

２．2つの方向角の順序を確保

半回転上で、$AC$の方向が$BC$の方向より先に現れる。つまり
$$\theta<\phi$$
であることを示す
2つのベクトルは
$$\overrightarrow{AC}=(x,y),\quad \overrightarrow{BC}=(x-1,y)$$
である。したがってその成分から計算すると
$$xy-y(x-1)=y>0$$
一方、2つのベクトルの長さをそれぞれ$r,s>0$とすれば、三角関数の公式より
$$xy-y(x-1)=rs\sin{(\phi-\theta)}$$
よって
$$\sin{(\phi-\theta)}>0$$
また$0°<\theta,\phi<180°$だから
$$-180°<\phi-\theta<180°$$
この範囲で正弦が正になるのは
$$0°<\theta<\phi<180°$$
の場合に限られる

３．半回転上の3つの隙間を内角に対応させる

頂点$A$では、$AB$の方向角は$0°$、$AC$の方向角は$\theta$である。故に
$$\angle A=\theta$$
頂点$C$では、$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$はそれぞれ$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BC}$を反対向きにしたベクトルである2つの向きをともに$180°$回転させても、その間の角度は変わらない
従って
$$\angle C=\phi-\theta$$
頂点$B$では、$BA$の方向角は$180°$、$BC$の方向角は$\phi$である
故に
$$\angle B=180°-\phi$$

つまり、半回転の3つの隙間
$$\theta,\quad\phi-\theta,\quad 180°-\phi$$
はそれぞれ三角形の内角$A,C,B$に一致する

４．半回転全体を数える

３つの隙間は、方向角$0°$から$180°$までを過不足なく分割している。よって
$$\angle A+\angle C+\angle B=\theta+(\phi-\theta)+(180°-\phi)=180°$$
従って
$$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$

という証明です
文句を言われそうなところとしては「度数法で半角$=180°$と決めているのはなぜか」などでしょう
しかし直線のなす角度$180°$あるというのは、三角形の内角が$180°$であるという定理の前にある公理なので大丈夫でしょう