文献あり

和田杯の自分の問題の解説

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はじめに

灘校文化祭がありました.自分の問題が3問出たので今回は1問解説します.
猛烈なネタバレなので，まだ考えたいよという人はブラウザバックを

本題

鋭角不等辺三角形 $A B C$ において,内心を $I$ ,外心を $O$ とする.線分 $B C$ の垂直二等分線と $∠ B A C$ の外角二等分線の交点を $P$ ,三角形 $A B C$ の内接円と $B C$ の接点を $D$ とする.三角形 $A P D$ の外接円と直線 $B C$ の交点を $Q$ ,直線 $P Q$ と直線 $O I$ の交点を $P^{'}$ とするとき, $I O : O P^{'}$ を求めよ.

まずは以下を補題として与えます.

直線 $O I$ は, $A B C$ の傍心が構成する三角形のオイラー線である.

まず, $I$ は傍心三角形の垂心である.(証明略)これは簡単な角度追跡でいえるので,頑張ってみましょう.
そして, $O$ は傍心三角形の九点円の中心である.(上が分かれば定義通りですね)
九点円の中心は外心と垂心の中点なので,特に $O I$ は傍心三角形のオイラー線である.

ここで,上に書いたことを再度.傍心三角形の外心を $O^{'}$ とするとき, $I O = O O^{'}$ である.(後で使います)
これは, $A B, A C, B C$ それぞれの中点を考えれば分かり易いです.
これも示しておきましょう.

$P$ は三角形 $A B C$ の $B$ に関する傍心を $B^{'}$ ,同様に $C^{'}, A^{'}$ を定義した時, $B^{'}$ と $C^{'}$ の中点である.

省略します.一致法で示しましょう.

ここまでわかったので,図を書いたらこんな感じです.

ここからが肝(?)です

$A^{'}, Q, P$ は共線である.

$A^{'} B C, A^{'} B^{'} C^{'}$ は相似であるから,角度追跡より, $B C$ の中点を $M$ とした時, $A D / / A^{'} M$ を示せばよい.

まず,不要な点を取っ払って図を書くと,こうです.
( $B C / / X Z$ であり,傍接円と $Y$ で接します.)

$B C / / X Z$ , $B D : D C = X Y : Y Z$ より, $A, D, Y$ は共線である.また,三角形 $D D^{'} Y$ における中点連結定理より, $A D / / A^{'} M$

ここまでくればあと一息です. $P^{'}$ は三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の中線とオイラー線の交点であるから,実は三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の重心でした.よって,オイラー線の有名性質より, $I P^{'} : P^{'} O^{'} = 2 : 1$ であり,上の議論の $I O = O O^{'}$ と合わせて, $I O : O P^{'} = 3 : 1$