フロベニウスの硬貨交換問題から考察するゴールドバッハの問題

フロベニウスの硬貨交換問題から考察するゴールドバッハの問題

導入

本ブログではゴールドバッハの問題の考察を初等数論の立場から行う。なるべく難しい理論や数式を多用せずに簡潔に問題の本質を明らかにする。その指針の上で、特にこの問題の考察においては、私はフロベニウスの硬貨交換問題の活用に主眼を置いてみようと思う。たとえば二つの奇素数の硬貨交換問題を使って、任意の偶数Mと半素数semi-primeの一対一対応を考え、その間のフロベニウス数を考察するのである。問題への考察は簡潔であり、情報量としては非常にコンパクトにまとまった。比較的軽量なので、読みやすいと思う。

ゴールドバッハの予想

ゴールドバッハの予想とは
「すべての$6$以上の偶数について、二つの奇素数の和に分解できる」
というもので、クリスチアン・ゴールドバッハが$1742$年、オイラーへの手紙のなかで述べた問題である。今回はこの問題をなるべく初等数論の範囲内で考察して、問題の本質的な部分を明らかにする。

フロベニウスの硬貨交換問題

初等数論の範囲で収まる問題の一つに、二枚の場合のフロベニウスの硬貨交換問題がある。この二枚の硬貨を二つの奇素数に置き換えても、フロベニウス数$k_1$が必ず存在することには何も変わらない。

つまり

となるような$k_1$は必ず存在する。

このとき$p+q$は必ず偶数$M$となるのであるが、その逆、たとえば任意の偶数$M$が奇素数の組$(p,q)$に分解できるかどうかは保証されない。

フロベニウス数で定義される範囲内での、ある特定の$(p,q)$は必ず偶数をつくれるが、その特定のある$(p,q)$が"任意"の偶数をつくるとまでは言えない。フロベニウス数の範囲内ですべての偶数をつくれる保証はない。これが問題の本質である。

逆問題

即ち本質的な部分はある種の逆問題のようなものであろう。フロベニウス数の範囲内で導ける偶数と、任意の偶数の範囲内で導ける奇素数の組とが、証明してみないとまだ一致するかどうかわからない。

よってこの逆問題を証明するために、まず$M$と$pq$との間に一対一の写像を与えることを考える。

これの真理値は自明である。

断っておくがこのときの奇数$k_2$はフロベニウス数ではない。もしもこれがフロベニウス数であったとしたら、任意の偶数に対して$M=p+q$が成り立つだろう。しかし$k_2$にはそのような制限はない。

従って$k_2\in 2\mathbb{N}+1$となる奇数集合$2\mathbb{N}+1$を、うまく外側から制限するように数式を与えてやることができればよい。これで$M$の分解の非構成的な仕方を決めることができるはずだ。

$k_2$の制限

よって次のような定理を証明する。

考察として証明する定理

証明を下に記す。

この定理から$k_2\in 2\mathbb{N}+1$は制限されるので、定理の帰結により$k_1=k_2$が明らかに言える。つまり任意の偶数とある特定の奇素数とをとるとフロベニウス数を媒介にして、$M=p+q$のように必ず分解することができる。

Man on the Golden hourse？

ゴールドバッハ予想、証明した？
俺は黄金馬に乗る男だぁい！ってか。
しかしそれほど自信はないけども。
何か欠陥があれば、コメント欄にどうぞどうぞ

追記

定理2が成り立つ状況下で、適当に任意に偶数$M=2n$をとる。そして次にある特定の半素数を持ってきて$(5,11)$、とでもしよう。そのとき式は$5\times 11-2n=k_2$となる。つまり$k_2$は数の集合になる。この例で言えば、$\{k_2=53,51,49,\dots 39\dots \}$と数がズラッと出てくる。

こうなると任意の$M$の幅は大きくなってしまって、$k_2$はフロベニウス数にはならない。

よって定理2で証明したように、$p+q+k_1=pq$と集合積$\cap$をとってやることで、$k_2$の数の集合が$k_1$で制限されるようにする。

この列で言えば、$5\times 11-(5+11)=39$だから、$k_1$=$\{53,51,49,\dots 39\dots \}$ $\cap$ $\{39\}$=$\{39\}$となって、一つの値に収束する。このときに限り(つまり$k_1=k_2$のとき)、$M$は奇素数の組に分解できる。

と、いうのが大体の大まかな主張。

どう思います？

何か間違っているような気がする……。
自分でも何回も目を通してチェックしてるけど、ピンとこない。井の中の蛙のせいなのか、一人で数学していると指摘してくれる友達がいないので、沼にハマると抜け出せなくなる……。

だってゴールドバッハ予想がこんなに腰砕けのはずがない！何か見落としてるし、失敗してる。クソぅ。はやくこの沼から出たいよー。

幻想をブチ壊してくれる人を求む！
(そういう主旨で投稿しました)