コラッツの予想は素数が全く法則的でないことを用いれば解けることの証明をしたと思ったけど、違った話……じゃなくて、自然数の個数からコラッツの予想が従う、という話
コラッツの予想は素数が全く法則的でないことを用いれば解けることの証明をしたと思ったけど、違った話……じゃなくて、自然数の個数からコラッツの予想が従う、という話
解くまでの試行錯誤
$\frac{3p+1}{2}=\frac{3(p+1)}{2}-1$
ここで$\frac{p+1}{2}=n$とすると、
$p=2(n-1)+1$
pは例えば101だったら、n=51となる。
このような計算は、pがいくつであっても可能だ。
今$p=2n-1,\frac{3p+1}{2}=3n-1=p+n$で、nはpの半分が
$m+0.5$なら$m+1$。つまり、$3/2p$より0.5大きくなる。自分の半分より0.5大きい数を足す時、$3n-1$が2の巾乗にならないようにするには$0.5p+0.5$が$p$と互いに素で、それが奇数nであればよい。しかし、奇数が足されるので、$3n-1$は偶数である。また、
変化していくnを数列で表すと、式は省略するが$p+1=2n$なので、4より大きい巾乗にならない限り、1を足して2で割って3倍して1を足して、の繰り返しになる。つまり、$\frac{p+1}{2}$が足されていく。
この際nがpに足されていくが、1.5倍より大きい最小の値は、$2^n$を2/3してそれより小さい最小の値を大体取れば判るように、次に$2^n$となるような値を通る。
2の巾乗からそのような値は2の巾乗の個数と同じ個数取れ、それらが互いに素（全ての値が$2n-1=2^k-1$であるため）なので、それら全ての値を使って、2との掛け算で全ての値を表せればよい。
そもそも、ある2の巾乗までの自然数がコラッツの予想の条件を満たすなら、それらの数の2倍は全て条件を満たし、なおかつ巾乗マイナス1も条件を満たす。
すると、今奇数の次の数がその内偶数になることは示せている。
追記 2024/6/3
3n+1を有限回計算し、その後2で割ります。
しかし、小さくなっていくとは限らない為、ここの書き方はおかしいか、疑問です。
違いました。3n+1したら、2で必ず割ります。
ある偶数以下の全ての偶数がコラッツの予想の条件を満たすことをあらかじめ示しておいたので、これで示せた。（多分。頭痛い。）
■
なんか、惜しいな。
確率的証明はできていますね。
奇数からは偶数ができ、必ず自然数になることは示せてますので、後はどうすればいいんですかね？
解けた！
偶数は自然数全体の1/2を占める。
3n+1は、
$1/3*1/(1-1/3)=1/2$。
$1/2+1/2=1$
全部の自然数が、別の自然数に変化するので、後は無限に大きくならないことを示せばよい。このままだと、ある3倍して1が足され続ける無限大が存在する。
しかし、これはあくまで無限大なので、問題ない。有限の空数回で1になる。
いや、まだかな……。
しかし、こんな簡単だったのか……。
なんで1/3から始まる公比1/3の等比級数の和を求めるのか？
何回3倍して、更にそれらの3倍をしまくった項を足しても、ある3^nで割れば当然有限の値になる、ということかな。
何を言っているか分かりません。
違いますね。
2で割ったり、3倍して1を足したりした時に、全くの乱数になるのであれば、全ての操作が有限の値からより大きいまたは小さい有限の値になる操作である以上、必ず1/3を踏む、という……どっち道概念的で、コラッツの予想とあまり関係ない概念の説明ですね。
どう考えても3n+1は自然数全体の1/3なんですけどね。これは意味不明です。
つまり、自然数に対する1つ1つの操作が、関数だということなのだ。
完璧に解けました！
奇数の半分より0.5大きい自然数を足す操作を繰り返すと、ある範囲の2冪から次の2冪の数の2の倍数を網羅的に通っていく気がする。
$3/2n+0.5=p$とする。
$3/2p+0.5=9/4n+1.25$
この時、$q=p-2$から計算した次の項は3小さい数字になる。つまり、どちらかは2で割れる。更に、4つの項の内、1つは4で割れる。
計算する度に、項は$n$の倍数に近付いていき、$3/2n+0.5$という真ん中の値から上下に偏っていき、しかもその偏りは少しずつずれていき、細かくある範囲を分けていく（2の倍数を掛けて値を$n$から$2n$に揃えれば）2分探索をしているような状態になる。
丁度2進法で$1〜2^2,1〜1.5^2$
という風に$\sqrt{2}$の値を探しているような感じになる。
しかも、nが十分大きい時、$3/2n+0.5$から、$2n$の間に2冪は必ず存在する。
中途半端に2で割って行く場合、
どこかでこれと同じように
「1回割るごとに3倍して1を足し、いつまでも数が小さくならない状態」
になる。こうやってハマった時こそ、2冪にして1にするチャンスなのだ。
つまり、全ての数が2冪になることが分かる。
2度以上2で割ると偏った状態はリセットされるが、数自体は小さくなるので問題ない。
補足
全ての数が写像の関係なので、写像を写していけば都合のいい数を取り出すことができる。
ある数とある数は互いに経由しないが、全ての経由しない数に関して証明すればよい。
つまり、$n$から$2n$まで、経由し合う数の組を有限個組み合わせて、並べられるということだ。
これは自明で、$n$から$2n$までの全ての（2nは重複するので含まないが）数がお互いに経由しないとして、後から経由するものは経由する、と情報を書き換えればいいのだ。
そして、全ての数が大きくなりさえすれば、2分探索どころか、取り尽くし法、貪欲法で2冪以外の数がなくなってしまうのだ。
大きくなり、たまに偶数になりさえすれば、ね。しかし、まず、全ての経由しない自然数に注目している。更に次の行に注目してほしい。
これは、有限個の自然数の範囲で考えている時は、自然数がなくなるので必ず従う。
そして、無限個自然数があっても、どこまでも無限個取り尽くすことができる。
再掲 解けた！
偶数は自然数全体の1/2を占める。
3n+1は、
$1/3*1/(1-1/3)=1/2$。
$1/2+1/2=1$
続き
この式が1なので、必ず従う事実である。
上の式は、$1/3、1/9、1/27\cdots$の等比級数の和である。3n+1型の数は、全部で自然数の1/2存在する。
追記 2024/6/3
そんなわけないでしょ。1/3です。
示せてません。
よって示せた。
さらに補足
循環しないことは、奇数を3倍して1を足した数を木の下の右の節に書いていって、偶数奇数問わず2で割った数を節の左に書いていくと分かる。同じ数が、分数が$3/2,9/4\cdots$
と細かくなるにつれ、2度と現れない。
小数点以下は、自動的に決まっていく。
（1桁目などに影響する場合もある。）
我々は分数にだけ注目しよう。
細かい数は、改めてpを置き直すと全く同じように計算ができるので、考える必要がない。
ある十分大きい$n$から$2n$を考えれば十分である。数式にすることもできる。
多分。
更にまた補足
式が既出の数と同一のものでないような数は無限に含まれている。
しかし、2で割った数を足し0.5を足す、これは変わらない。だから、一般化できる。
あれ？
2で割って0.5を足していけば、1になる。
1.5倍した数の1の部分を無視して1にすれば……違うか。前も同じことを考えたことがある。
$3n+1$の$1$が端数で、1未満になり続けるなら、それは区間をよく分割する。
従って、問題は奇数が2冪と素数の積になっていることが多いなら、確率的に従うという所まできている。
結論
コラッツの予想は弱い予想だ。
しかし。
素数より合成数の方が多くても、素数を数式で一般化して表すことができないので、合成数の中の素因数に、1/2n+0.5を作用させて2の倍数を作り出すことができない。
従って、コラッツの予想を証明することはできない。
■
Q. E. D.
補足
素数には互いに無関係という重要な性質がある。
小さくなる素数を残し、小さくならない素数を小さくなる素数に変化させ取り尽くす、ということは簡単にできる。
コラッツの予想は正しい。
もしヤバい素数からヤバい素数への変化が連続して、ループを作ったらまずいが、ループ自体がありえないのでOK。
■
Q. E. D.
素数に法則があれば、簡単に破綻してしまう脆い補題だ。
コラッツ予想自体が弱い条件で、もっと強い条件の予想がありそうだ。
しかし、吐きそうになるので考えない。
