Chebyshev多項式の存在の証明

$n = 1$の時は，$f_1(X) = X, g_1(X) = 1$で成り立ち，これらの最大次数の係数は正である．$n > 1$とし，$f_{n - 1}(X), g_{n - 1}(X)$が存在し，それらの最大次数の係数が正であると仮定する．このとき
\begin{align} \cos{n\vartheta} &= \cos{(n - 1)\vartheta}\cdot\cos{\vartheta} - \sin{(n - 1)\vartheta} \cdot \sin{\vartheta}\\ &= f_{n - 1}(\cos{\vartheta})\cos{\vartheta} - g_{n - 1}(\cos{\vartheta})(\sin{\vartheta})^2\\ &= f_{n - 1}(\cos{\vartheta})\cos{\vartheta} - g_{n - 1}(\cos{\vartheta})[1 - (\cos{\vartheta})^2] \in \symbb{Z}[\cos{\vartheta}]\\ \sin{n\vartheta} &= \sin{(n - 1)\vartheta}\cdot\cos{\vartheta} + \cos{(n - 1)\vartheta}\cdot\sin{\vartheta}\\ &= g_{n - 1}(\cos{\vartheta})\sin{\theta}\cdot\cos{\vartheta} + f_{n - 1}(\cos{\vartheta})\sin{\vartheta}\\ &= \sin{\vartheta}\cdot(g_{n - 1}(\cos{\vartheta})\cos{\vartheta} + f_{n - 1}(\cos{\vartheta})) \in \sin{\vartheta}\cdot\symbb{Z}[\cos{\vartheta}]\text{.} \end{align}
よって$f_n(X), g_n(X)$が存在する．さらに，$f_n(X), g_n(X)$の最大次数の係数は正であるから，$\deg{f_n} = n, \deg{g_n} = n - 1$であることもわかる．