今回の記事では,差分を少しだけ一般化しYana差分というものを考えてみました.内容は簡単ですので,ぜひ閲覧して頂けると嬉しいです。
∀α,β∈C,∀{an}n∈N∪{0}⊂Cとし,演算子Δα,βを次のように定める.Δα,βan=αan+βan+1このΔα,βをYana差分と呼ぶことにする.
Yana差分Δα,βは線形性を持つ.
1.加法性:Δα,β(an+bn)=α(an+bn)+β(an+1+bn+1)=(αan+βan+1)+(αbn+βbn+1)=Δα,βan+Δα,βbn2.斉次性:Δα,β(γan)=α(γan)+β(γan+1)=γ(αan+βan+1)=γΔα,β
k∈N∪{0}に対して,Δα,βkを次のように定める.Δα,β0an=anΔα,β1an=αan+βan+1Δα,βkan=Δα,β(Δα,βk−1an)(k≥2)このΔα,βkをk回Yana差分と呼ぶことにする.
Δα,βka0=∑l=0k(kl)αk−lβlal(k≥1)
k=1の場合は明らかに成り立つ.そこで,1,2,...,kまで成り立つと仮定する.そしてk+1の場合を考えると,Δα,βk+1a0=Δα,β(Δα,βka0)=Δα,β∑l=0k(kl)αk−lβlal=a0k+1+∑l=1k{(kl)+(kl−1)}αk+1−lβlal+βk+1ak+1=∑l=0k+1(k+1l)αk+1−lβlal
形式的べき級数f(x)=∑k=0∞ckxkに対して,次式が成り立つ.f(Δα,β)a0=∑l=0∞βlf(l)(α)l!al
f(Δα,β)a0=∑k=0∞ckΔα,βka0=∑k=0∞ck∑l=0k(kl)αk−lβlal=∑l=0∞βlal∑k=l∞ck(kl)αk−lまた,f(l)(x)=∑k=l∞ckk!(k−l)!xk−l=l!∑k=l∞ck(kl)xk−lを得る.これを,先の式に代入して証明完了.
f(Δα,β)a0=∑l=0∞βlf(l)(α)l!al
f(x)=11−xとした場合f(Δα,β)a0=∑k=0∞Δα,βka0=∑l=0∞(β1−α)lal特にβ=±(1−α)とすると,次式が成り立つ.∑k=0∞Δα,1−αka0=∑l=0∞(±1)lal
f(x)=exとした場合f(eΔα,β)a0=∑k=0∞Δα,βkk!a0=eα∑l=0∞βll!al
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