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Yana差分と総和

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今回の記事では,差分を少しだけ一般化しYana差分というものを考えてみました.
内容は簡単ですので,ぜひ閲覧して頂けると嬉しいです。

Yana差分

α,βC,{an}nN{0}Cとし,演算子Δα,βを次のように定める.
Δα,βan=αan+βan+1
このΔα,βをYana差分と呼ぶことにする.

Yana差分Δα,βは線形性を持つ.

1.加法性:
Δα,β(an+bn)=α(an+bn)+β(an+1+bn+1)=(αan+βan+1)+(αbn+βbn+1)=Δα,βan+Δα,βbn
2.斉次性:
Δα,β(γan)=α(γan)+β(γan+1)=γ(αan+βan+1)=γΔα,β

k回のYana差分

kN{0}に対して,Δα,βkを次のように定める.
Δα,β0an=anΔα,β1an=αan+βan+1Δα,βkan=Δα,β(Δα,βk1an)(k2)
このΔα,βkk回Yana差分と呼ぶことにする.

二項定理

Δα,βka0=l=0k(kl)αklβlal(k1)

k=1の場合は明らかに成り立つ.
そこで,1,2,...,kまで成り立つと仮定する.そしてk+1の場合を考えると,
Δα,βk+1a0=Δα,β(Δα,βka0)=Δα,βl=0k(kl)αklβlal=a0k+1+l=1k{(kl)+(kl1)}αk+1lβlal+βk+1ak+1=l=0k+1(k+1l)αk+1lβlal

形式的べき級数f(x)=k=0ckxkに対して,次式が成り立つ.
f(Δα,β)a0=l=0βlf(l)(α)l!al

f(Δα,β)a0=k=0ckΔα,βka0=k=0ckl=0k(kl)αklβlal=l=0βlalk=lck(kl)αkl
また,
f(l)(x)=k=lckk!(kl)!xkl=l!k=lck(kl)xkl
を得る.これを,先の式に代入して証明完了.

f(Δα,β)a0=l=0βlf(l)(α)l!al

f(x)=11xとした場合
f(Δα,β)a0=k=0Δα,βka0=l=0(β1α)lal
特にβ=±(1α)とすると,次式が成り立つ.
k=0Δα,1αka0=l=0(±1)lal

f(x)=exとした場合
f(eΔα,β)a0=k=0Δα,βkk!a0=eαl=0βll!al

投稿日:20231125
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ただ趣味で数学をやっている普通の人です。 特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。 僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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