Yana差分と総和

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今回の記事では，差分を少しだけ一般化しYana差分というものを考えてみました．
内容は簡単ですので，ぜひ閲覧して頂けると嬉しいです。

Yana差分

$\forall α, β \in C, \forall {a_{n}}_{n \in N \cup {0}} \subset C$ とし，演算子 $Δ_{α, β}$ を次のように定める．
$Δ_{α, β} a_{n} = α a_{n} + β a_{n + 1}$
この $Δ_{α, β}$ をYana差分と呼ぶことにする．

Yana差分 $Δ_{α, β}$ は線形性を持つ．

1.加法性：
$\begin{array}{rcl} Δ_{α, β} (a_{n} + b_{n}) & = & α (a_{n} + b_{n}) + β (a_{n + 1} + b_{n + 1}) \\ = & (α a_{n} + β a_{n + 1}) + (α b_{n} + β b_{n + 1}) \\ = & Δ_{α, β} a_{n} + Δ_{α, β} b_{n} \end{array}$
2.斉次性：
$\begin{array}{rcl} Δ_{α, β} (γ a_{n}) & = & α (γ a_{n}) + β (γ a_{n + 1}) \\ = & γ (α a_{n} + β a_{n + 1}) \\ = & γ Δ_{α, β} \end{array}$

k回のYana差分

$k \in N \cup {0}$ に対して， $Δ_{α, β}^{k}$ を次のように定める．
$\begin{array}{rcl} Δ_{α, β}^{0} a_{n} = a_{n} \\ Δ_{α, β}^{1} a_{n} = α a_{n} + β a_{n + 1} \\ Δ_{α, β}^{k} a_{n} = Δ_{α, β} (Δ_{α, β}^{k - 1} a_{n}) (k \geq 2) \end{array}$
この $Δ_{α, β}^{k}$ を $k$ 回Yana差分と呼ぶことにする．

二項定理

$Δ_{α, β}^{k} a_{0} = \sum_{l = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ l \end{matrix}) α^{k - l} β^{l} a_{l} (k \geq 1)$

$k = 1$ の場合は明らかに成り立つ．
そこで， $1, 2, . . ., k$ まで成り立つと仮定する．そしてk+1の場合を考えると，
$\begin{array}{rcl} Δ_{α, β}^{k + 1} a_{0} & = & Δ_{α, β} (Δ_{α, β}^{k} a_{0}) \\ = & Δ_{α, β} \sum_{l = 0}^{k} (\begin{array}{c} k \\ l \end{array}) α^{k - l} β^{l} a_{l} \\ = & a_{0}^{k + 1} + \sum_{l = 1}^{k} {(\begin{array}{c} k \\ l \end{array}) + (\begin{array}{c} k \\ l - 1 \end{array})} α^{k + 1 - l} β^{l} a_{l} + β^{k + 1} a_{k + 1} \\ = & \sum_{l = 0}^{k + 1} (\begin{array}{c} k + 1 \\ l \end{array}) α^{k + 1 - l} β^{l} a_{l} \end{array}$

形式的べき級数 $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} x^{k}$ に対して，次式が成り立つ．
$\begin{array}{r} f (Δ_{α, β}) a_{0} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{β^{l} f^{(l)} (α)}{l!} a_{l} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f (Δ_{α, β}) a_{0} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} Δ_{α, β}^{k} a_{0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} \sum_{l = 0}^{k} (\begin{array}{c} k \\ l \end{array}) α^{k - l} β^{l} a_{l} \\ = & \sum_{l = 0}^{\infty} β^{l} a_{l} \sum_{k = l}^{\infty} c_{k} (\begin{array}{c} k \\ l \end{array}) α^{k - l} \end{array}$
また，
$\begin{array}{rcl} f^{(l)} (x) & = & \sum_{k = l}^{\infty} c_{k} \frac{k!}{(k - l)!} x^{k - l} \\ = & l! \sum_{k = l}^{\infty} c_{k} (\begin{array}{c} k \\ l \end{array}) x^{k - l} \end{array}$
を得る．これを，先の式に代入して証明完了．

$f (Δ_{α, β}) a_{0} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{β^{l} f^{(l)} (α)}{l!} a_{l}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$ とした場合
$\begin{array}{rcl} f (Δ_{α, β}) a_{0} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} Δ_{α, β}^{k} a_{0} \\ = & \sum_{l = 0}^{\infty} (\frac{β}{1 - α})^{l} a_{l} \end{array}$
特に $β = \pm (1 - α)$ とすると，次式が成り立つ．
$\sum_{k = 0}^{\infty} Δ_{α, 1 - α}^{k} a_{0} = \sum_{l = 0}^{\infty} (\pm 1)^{l} a_{l}$

$f (x) = e^{x}$ とした場合
$\begin{array}{rclrc} f (e^{Δ_{α, β}}) a_{0} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{Δ_{α, β}^{k}}{k!} a_{0} & = & e^{α} \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{β^{l}}{l!} a_{l} \end{array}$

投稿日：2023年11月25日

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投稿者

かじゅみ

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ただ趣味で数学をやっている普通の人です。特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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