今回の記事では，差分を少しだけ一般化しYana差分というものを考えてみました．
内容は簡単ですので，ぜひ閲覧して頂けると嬉しいです。
$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{C},\forall \{a_n\}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}\subset \mathbb{C}$とし，演算子$\Delta_{\alpha,\beta}$を次のように定める．
\begin{equation}
\Delta_{\alpha,\beta}a_n=\alpha a_n + \beta a_{n+1}
\end{equation}
この$\Delta_{\alpha,\beta} $をYana差分と呼ぶことにする．
Yana差分$\Delta_{\alpha,\beta}$は線形性を持つ．
1.加法性：
\begin{eqnarray}
\Delta_{\alpha,\beta}(a_n+b_n)&=&\alpha(a_n+b_n)+\beta(a_{n+1}+b_{n+1})\\
&=&
(\alpha a_n+\beta a_{n+1})+(\alpha b_n + \beta b_{n+1})\\
&=&
\Delta_{\alpha,\beta}a_n+\Delta_{\alpha,\beta}b_n
\end{eqnarray}
2.斉次性：
\begin{eqnarray}
\Delta_{\alpha,\beta}(\gamma a_n)&=&\alpha(\gamma a_n)+\beta(\gamma a_{n+1})\\
&=&
\gamma (\alpha a_n + \beta a_{n+1})\\
&=&
\gamma \Delta_{\alpha,\beta}
\end{eqnarray}
$k \in \mathbb{N}\cup \{0\}$に対して，$\Delta_{\alpha,\beta}^k$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
&&\Delta_{\alpha,\beta}^0a_n=a_n\\
&&\Delta_{\alpha,\beta}^1 a_n=\alpha a_n + \beta a_{n+1}\\
&&\Delta_{\alpha,\beta}^ka_n=\Delta_{\alpha,\beta}(\Delta_{\alpha,\beta}^{k-1}a_{n}) \quad (k\geq 2)
\end{eqnarray}
この$\Delta_{\alpha,\beta}^k$を$k$回Yana差分と呼ぶことにする．
\begin{equation} \Delta_{\alpha,\beta}^k a_0=\sum_{l=0}^k\begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix}\alpha^{k-l}\beta^{l}a_{l} \quad (k\geq 1) \end{equation}
$k=1$の場合は明らかに成り立つ．
そこで，$1,2,...,k$まで成り立つと仮定する．そしてk+1の場合を考えると，
\begin{eqnarray}
\Delta_{\alpha,\beta}^{k+1}a_0&=&\Delta_{\alpha,\beta}(\Delta_{\alpha,\beta}^{k}a_0)\\
&=&
\Delta_{\alpha,\beta}\sum_{l=0}^k\begin{pmatrix}
k \\ l
\end{pmatrix} \alpha^{k-l}\beta^{l}a_l\\
&=&
a_0^{k+1}+\sum_{l=1}^{k}\{\begin{pmatrix}
k \\ l
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
k \\ l-1
\end{pmatrix}\}\alpha^{k+1-l}\beta^{l}a_l
+\beta^{k+1}a_{k+1}\\
&=&
\sum_{l=0}^{k+1}\begin{pmatrix}
k+1 \\ l
\end{pmatrix}\alpha^{k+1-l}\beta^{l}a_l
\end{eqnarray}
形式的べき級数$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k$に対して，次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
f(\Delta_{\alpha,\beta})a_0=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\beta^{l}f^{(l)}(\alpha)}{l!}a_l
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
f(\Delta_{\alpha,\beta})a_0&=&\sum_{k=0}^\infty c_k\Delta_{\alpha,\beta}^k a_0\\
&=&
\sum_{k=0}^\infty c_k\sum_{l=0}^{k}\begin{pmatrix}
k \\ l
\end{pmatrix}\alpha^{k-l}\beta^{l}a_l\\
&=&
\sum_{l=0}^{\infty}\beta^la_l\sum_{k=l}^{\infty}c_k\begin{pmatrix}
k \\ l
\end{pmatrix}\alpha^{k-l}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
f^{(l)}(x)&=&\sum_{k=l}^{\infty}c_k\frac{k!}{(k-l)!}x^{k-l}\\
&=&
l!\sum_{k=l}^{\infty}c_k\begin{pmatrix}
k \\ l
\end{pmatrix}x^{k-l}
\end{eqnarray}
を得る．これを，先の式に代入して証明完了．
\begin{equation} f(\Delta_{\alpha,\beta})a_0=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\beta^l f^{(l)}(\alpha)}{l!}a_l \end{equation}
$f(x)=\frac{1}{1-x}$とした場合
\begin{eqnarray}
f(\Delta_{\alpha,\beta})a_0&=&\sum_{k=0}^\infty \Delta_{\alpha,\beta}^ka_0\\
&=&
\sum_{l=0}^\infty (\frac{\beta}{1-\alpha})^la_l
\end{eqnarray}
特に$\beta=\pm(1-\alpha)$とすると，次式が成り立つ．
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}\Delta_{\alpha,1-\alpha}^ka_{0}=\sum_{l=0}^{\infty}(\pm1)^la_l
\end{equation}
$f(x)=e^x$とした場合
\begin{eqnarray}
f(e^{\Delta_{\alpha,\beta}})a_0&=&
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Delta_{\alpha,\beta}^{k}}{k!}a_0
&=&
e^{\alpha}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\beta^{l}}{l!}a_l
\end{eqnarray}