[125]

整数問題
$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2\sqrt{2a_n^2-1}\dots (★)$
(解)$a_2=5$
帰納的に$a_n\ge 1,a_{n+1}>a_n\dots \mathrm{①}(n=1,2,\dots ,)$
$a_{n+1}-3a_n=2\sqrt{2a_n^2-1}$
二乗して整理すると
$a_{n+1}^2-6a_n{a}_{n+1}+a_n^2+4=0(n=1,2,\dots ,)$
$a_{n+2}^2-a_n^2-6a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=0$
$(a_{n+2}-a_n)(a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n)=0$
①より$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0(n=1,2,\dots ,)\dots \mathrm{②}$
②と$a_1,a_2$より任意の正の整数$n$について$a_n$正の奇数
よって任意の正の整数$n$について$\frac{a_{n+1}-3a_n}{2}(=\sqrt{2a_n^2-1})$は正の整数