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Stewartの定理の覚え方

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Stewartの定理とは次のような初等幾何の定理である:

(Stewartの定理)

三角形$ABC$の辺$BC$上に点$M$を取り,$a=BC,\;b=AC,\;c=AB,\;d=AM,\;m=BM,\;n=CM$と定めると
$$ b^2m+c^2n=a(d^2+mn) $$
が成り立つ.
Stewartの定理 Stewartの定理

これがよく考えたら簡単だったという話をしたい(幾何が得意な人にとっては常識かもしれないが・・・).
まず$a=m+n$に注意すると,定理の主張は
$$ b^2\cdot\dfrac{m}{m+n} + c^2\cdot \dfrac{n}{m+n} = d^2+mn $$
と言い換えられる.さらに辺$BC$上の点$P$に対して
$$ f(P)=AP^2+BP\cdot CP $$
と定めると,定理の主張は
$$ f(C)\cdot\dfrac{m}{m+n} + f(B)\cdot\dfrac{n}{m+n} = f(M) $$
と言い換えられる.つまりSwewartの定理は,$f(P)$が辺$BC$上で$1$次関数に従って変化することを表している.
こう捉えると証明も簡単である.

$A(0,h),\;B(p,0),\;C(q,0)$としてよい.辺$BC$上の点$P(x,0)$に対して
$$ f(P)=x^2+h^2+(x-p)(q-x) $$
となる.これは$x$$1$次関数なのでよい.

投稿日:1025
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投稿者

J_Koizumi
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