無限級数その７／適用その３

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［適用その３］ $0 < r < 1$ で
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{1 + 4 n}}{1 + 4 n} = \int_{0}^{r} \frac{1}{1 - x^{4}} d x ． \dots (041)$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{2 + 4 n}}{2 + 4 n} = \int_{0}^{r} \frac{x}{1 - x^{4}} d x ． \dots (042)$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{3 + 4 n}}{3 + 4 n} = \int_{0}^{r} \frac{x^{2}}{1 - x^{4}} d x ． \dots (043)$

次の(044)は［定理01］で片付く．
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{4 n}}{4 n} = - \log (1 - r^{4}) ． \dots (044)$
(042)も［定理01］で片付く．
$\sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{r^{2 + 4 n}}{2 + 4 n} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{2 N} \frac{(r^{2})^{n}}{n} - \frac{1}{4} \sum_{n = 1}^{N} \frac{(r^{4})^{n}}{n}$
$\sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{r^{2 + 4 n}}{2 + 4 n} \to - \frac{1}{2} \log (1 - r^{2}) + \frac{1}{4} \log (1 - r^{4}) = \frac{1}{4} \log \frac{1 + r^{2}}{1 - r^{2}}$
残り２つ(041)(043)の定積分の値は， $r = \tan α ， 0 < α < \frac{π}{4}$ として，
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{1 + 4 n}}{1 + 4 n} = \frac{1}{4} \log \frac{1 + r}{1 - r} + \frac{α}{2} ． \dots (041)$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{3 + 4 n}}{3 + 4 n} = \frac{1}{4} \log \frac{1 + r}{1 - r} - \frac{α}{2} ． \dots (043)$

投稿日：2024年12月10日

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