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無限級数その7/適用その3

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[適用その3]$0\lt r\lt 1$
$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{r^{1+4n}}{1+4n}= \int_{0}^{r} \frac{1}{1-x^4}dx .\cdots(041) $$
$$\sum_{n=0}^{∞} \frac{r^{2+4n}}{2+4n}= \int_{0}^{r} \frac{x}{1-x^4}dx.\cdots(042) $$
$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{r^{3+4n}}{3+4n}= \int_{0}^{r} \frac{x^2}{1-x^4}dx.\cdots(043)$$

次の(044)は[定理01]で片付く.
$$ \sum_{n=1}^{∞} \frac{r^{4n}}{4n}=- \log(1-r^4) .\cdots(044)$$
(042)も[定理01]で片付く.
$$ \sum_{n=0}^{N-1} \frac{r^{2+4n}}{2+4n}= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{2N} \frac{(r^2)^{n}}{n}-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{N} \frac{(r^4)^{n}}{n} $$
$$ \sum_{n=0}^{N-1} \frac{r^{2+4n}}{2+4n} \rightarrow -\frac{1}{2} \log(1-r^2)+\frac{1}{4}\log(1-r^4)=\frac{1}{4}\log\frac{1+r^2}{1-r^2} $$
残り2つ(041)(043)の定積分の値は,$r= \tan \alpha , 0\lt \alpha \lt \frac{\pi }{4} $として,
$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{r^{1+4n}}{1+4n}=\frac{1}{4}\log\frac{1+r}{1-r}+\frac{\alpha }{2} . \cdots(041) $$
$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{r^{3+4n}}{3+4n}= \frac{1}{4}\log\frac{1+r}{1-r}-\frac{\alpha }{2}.\cdots(043) $$

投稿日:31日前
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