A3行列

はじめに

A3数列を行列化しました。veblen's functionで$\varphi(\omega,0)$の強さを期待します。
ミスなどありましたら教えていただけると幸いです。

定義

\begin{align*}   \text{巨大数} &: K = A3'^{10^{100}}(10^{100}) \\   \text{巨大関数} &: A3'(n) = \operatorname{expand}((\underbrace{0,\ldots,0}_{n\ \text{times}},1),n) \\   \text{出力} &: \operatorname{expand}((),n) = n \\   \text{展開} &:   \operatorname{expand}(S,n) =   \begin{cases}   \operatorname{expand}((S_1 \frown S_2 \frown \ldots \frown S_{X-1}),f(n)) &(a_{X,1} = 0 \land j = 0) \\   \operatorname{expand}((S_1 \frown S_2 \frown \ldots \frown S_{X-1} \frown (a_{X,1},\ldots,n,a_{X,j}-1,\ldots,a_{X,N})),f(n)) &(a_{X,1} = 0 \land j \neq 0) \\   \operatorname{expand}((G \frown \underbrace{B \frown \cdots \frown B}_{f(n)\ \text{times}}),n) &(otherwise) \\   \end{cases} \\   \text{活性化関数} &: f(n) = n+1 \\   \text{入力} &: S = S_1 \frown S_2 \frown \ldots \frown S_X \\               &S_i = (a_{i,1},\ldots,a_{i,N}) \\   \text{良い部分} &: G = S_1 \frown S_2 \frown \ldots \frown S_r \\   \text{悪い部分} &: B = S_{r+1} \frown \ldots \frown S_{X-1} \frown (a_{X,1}-1,\ldots,a_{X,N}) \\   \text{親} &: r = P_1^N(t) \\   \text{準親} &: P_1(x) =   \begin{cases}   max(\{k \mid a_{k,x-1} < a_{X,x-1}\} \cup \{0\}) &(x \neq 0) \\   x &(x = 0) \\   \end{cases}\\   \text{始親} &: t = max(\{k \mid a_{k,N} < a_{X,N}\} \cup \{0\}) \\ \end{align*}