n変数fudging

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かえでです．
いきなりですが，あなたは不等式証明の手法の1つであるIsolated Fudgingを知っていますか？

※この記事はIMO等の問題のネタバレを含みます．

Isolated Fudging(以下fudging)とは

3変数関数 $f (a, b, c)$ と実数 $k$ について，
$f (a, b, c) + f (b, c, a) + f (c, a, b) ≧ k$
を示す代わりに
$f (a, b, c) ≧ \frac{k a^{r}}{a^{r} + b^{r} + c^{r}}$
を示すという手法です．
勿論この不等式が成立するとき元の不等式も成立するため，これを示せば不等式が示されます．

fudgingを用いる流れ

1．示すべき不等式が $f (a, b, c) + f (b, c, a) + f (c, a, b) ≧ k$
という形であることを確認する．
このような形の時，fudgingによって示される可能性があるので必ずこれを疑いましょう．
2． $r$ の値を求める．
新しく関数 $g$ を $g (a, b, c) = f (a, b, c) - \frac{k a^{r}}{a^{r} + b^{r} + c^{r}}$
で定めます．
3． $g (p, p, p) = 0$ であるような実数 $p$ を取る．
$\frac{δ g}{δ a} (p, p, p) = 0$
を解くことで求める $r$ の値を得ます．
ただし，この $r$ の値を求める過程は解答に書く必要はありません．
4．不等式を示す．
$r$ の値を得たのであとは $g (a, b, c) ≧ 0$ を示して証明終了です．

例題

IMO 2001 P2

$a, b, c > 0$ のとき，
$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2} + 8 c a}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2} + 8 a b}} ≧ 1$
を示せ．

略解

r = \frac{4}{3}

としてfudgingの手法を用いると式が簡単になり容易に示される．

これ以外にもfudgingが有効な問題は沢山あります．Yi SunのTeaching Pageにある以下のpdfに幾つか載っているので解きたい方は解いてください．
Smoothing, Fudging, and Ordering

本題

さて，私が調べた限りではfudgingとして紹介されているものは3変数のものが多かったのですが，これらの議論の内容を見るとfudgingは一般にn変数で有効であるような気がしたので，少し考えてみました．

n変数fudgingを用いる流れ

基本的に先ほど紹介した流れと同様です．
1．示すべき不等式が
$\sum_{c y c} f (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}) ≧ k_{n}$
という形であることを確認する．
2． $r$ の値を求める．
ここで1つ問題が出てきます．n変数だと偏微分をして $r$ の値を求めることが非常に難しくなります．
なので，ここで，ある操作を行います．
$n$ に $2, 3, 4, 5$ などの具体的な値を代入して毎回fudgingをすることでより一般にn変数での $r$ の値を予想することが出来ます．ただし，ここでとあることに気付くと思います．
そうです．具体的な $n$ の値に対して毎回fudgingをするので( $n$ を大きくする度に)どんどん難易度が上がる難問をn変数に達するまで何度も解かないといけないんです．かなり大変ですね．

実際に使ってみる

まずはお試し，ということで一般化Nesbittの不等式をn変数fudgingで示してみます．
まずは普通のNesbittの不等式を紹介します．

Nesbittの不等式

$a, b, c > 0$ に対し，
$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} ≧ \frac{3}{2}$
が成り立つ．(等号成立は $a = b = c$ )

fudgingを用いた証明

$\frac{a}{b + c} ≧ \frac{3 a^{\frac{3}{2}}}{2 (a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}})}$
を示す．
$x = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}, y = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{2}}$ とする．
逆数をとることにより $3 x^{2} + 3 y^{2} ≦ 2 + 2 x^{3} + 2 y^{3}$ を示せばよいが， $x > 0$ のとき $2 x^{3} - 3 x^{2} ≧ - 1$ であることからこれは成り立つ．よって示される．　　　

これをn変数に一般化すると次のようになります．

一般化Nesbittの不等式

$a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} > 0$ に対し，
$f (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}) = \frac{a_{1}}{a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}}$ とすると，
$\sum_{c y c} f (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}) ≧ \frac{n}{n - 1}$
が成り立つ．(等号成立は $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}$ )

$n = 3$ のとき，Nesbittの不等式と同じ式になります．これをn変数fudgingで証明します．

n変数fudgingを用いた証明

$f (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}) ≧ \frac{n a_{1}^{\frac{n}{n - 1}}}{(n - 1) \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{\frac{n}{n - 1}}}$
を示す．
$i = 2, . . ., n$ に対し， $b_{i} = (\frac{a_{i}}{a_{1}})^{\frac{1}{n - 1}}$ とする．
逆数を取ることにより
$n \sum_{i = 2}^{n} b_{i}^{n - 1} ≦ (n - 1) + (n - 1) \sum_{i = 2}^{n} b_{i}^{n}$
を示せば良いが，
$b_{2} > 0$ のとき $(n - 1) b_{2}^{n} - n b_{2}^{n - 1} ≧ - 1$ なので，各 $i = 2, 3, . . ., n$ について同様の式を足し合わせることによりこれは成り立つ．
よって示される．

このように，n変数fudgingを利用してn変数の一般化Nesbittの不等式を示すことができます．
これはおそらく初出の証明です．すごいですね．
以下に("n変数fudgingが使えそうな")演習問題を載せるので，n変数fudgingをマスターしたい皆さんは解いてみてください．
なぜ"使えそうな"なのかというと，難しすぎて筆者も解けなくて確認できないからです！研究が進み次第すぐに改変を行いますので，解答を思いついた方はすぐにかえでに教えてください．

n変数fudgingの演習問題

$n > 1$ を正の整数とする．正の実数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ が
$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2} = 1$ を満たしている．
このとき，以下の不等式を示せ．
$\sum_{c y c} \frac{a_{1}^{5}}{a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}} ≧ \frac{1}{n (n - 1)}$

問題1の不等式を $n$ 変数に一般化できるか？

新しい問題を見つけ次第追加していきます．(2024/01/27)

最後に

今回この記事を書いていく上で1つ得た事実を書きます．
「n変数fudgingは使用する場面が殆ど無い上にかなり難易度が高いが，作問などで使えば難問を作れる可能性がある．」
以上です．是非上で述べた通り何かを発見した，もしくは思いついた場合はかえでに教えてください．
ここまで読んでくださりありがとうございました．

投稿日：2024年1月27日

更新日：2024年3月10日