n変数fudging
かえでです．
いきなりですが，あなたは不等式証明の手法の1つであるIsolated Fudgingを知っていますか？
※この記事はIMO等の問題のネタバレを含みます．
Isolated Fudging(以下fudging)とは
3変数関数$f(a,b,c)$と実数$k$について，
$$f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) ≧ k$$
を示す代わりに
$$f(a,b,c) ≧ \frac{ka^{r}}{a^{r}+b^{r}+c^{r}}$$
を示すという手法です．
勿論この不等式が成立するとき元の不等式も成立するため，これを示せば不等式が示されます．
fudgingを用いる流れ
1．示すべき不等式が$$f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) ≧ k$$
という形であることを確認する．
このような形の時，fudgingによって示される可能性があるので必ずこれを疑いましょう．
2．$r$の値を求める．
新しく関数$g$を$$g(a,b,c)=f(a,b,c)-\frac{ka^{r}}{a^{r}+b^{r}+c^{r}}$$
で定めます．
3．$g(p,p,p)=0$であるような実数$p$を取る．
$$
\frac{\delta g}{\delta a}(p,p,p)=0
$$
を解くことで求める$r$の値を得ます．
ただし，この$r$の値を求める過程は解答に書く必要はありません．
4．不等式を示す．
$r$の値を得たのであとは$g(a,b,c)≧0$を示して証明終了です．
例題
$a,b,c>0$のとき，
$$ \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} ≧ 1$$
を示せ．
略解
$ r=\frac{4}{3}$としてfudgingの手法を用いると式が簡単になり容易に示される．
これ以外にもfudgingが有効な問題は沢山あります．Yi SunのTeaching Pageにある以下のpdfに幾つか載っているので解きたい方は解いてください．
Smoothing, Fudging, and Ordering
本題
さて，私が調べた限りではfudgingとして紹介されているものは3変数のものが多かったのですが，これらの議論の内容を見るとfudgingは一般にn変数で有効であるような気がしたので，少し考えてみました．
n変数fudgingを用いる流れ
基本的に先ほど紹介した流れと同様です．
1．示すべき不等式が
$$ \sum_{cyc} f(a_1,a_2,...,a_n) ≧ k_n$$
という形であることを確認する．
2．$r$の値を求める．
ここで1つ問題が出てきます．n変数だと偏微分をして$r$の値を求めることが非常に難しくなります．
なので，ここで，ある操作を行います．
$n$に$2,3,4,5$などの具体的な値を代入して毎回fudgingをすることでより一般にn変数での$r$の値を予想することが出来ます．ただし，ここでとあることに気付くと思います．
そうです．具体的な$n$の値に対して毎回fudgingをするので($n$を大きくする度に)どんどん難易度が上がる難問をn変数に達するまで何度も解かないといけないんです．かなり大変ですね．
実際に使ってみる
まずはお試し，ということで一般化Nesbittの不等式をn変数fudgingで示してみます．
まずは普通のNesbittの不等式を紹介します．
$a,b,c > 0$に対し，
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} ≧ \frac{3}{2}$$
が成り立つ．(等号成立は$a=b=c$)
$$ \frac{a}{b+c} ≧ \frac{3a^{\frac{3}{2}}}{2(a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}})} $$
を示す．
$x=(\frac{b}{a})^{ \frac{1}{2} },y=(\frac{c}{a})^{ \frac{1}{2} } $とする．
逆数をとることにより$3x^2+3y^2≦2+2x^3+2y^3 $を示せばよいが，$x>0$のとき$2x^3-3x^2≧-1$であることからこれは成り立つ．よって示される．
これをn変数に一般化すると次のようになります．
$a_1,a_2,...,a_n>0$に対し，
$f(a_1,a_2,...,a_n)= \frac{a_1}{a_2+a_3+...+a_n} $とすると，
$$ \sum_{cyc} f(a_1,a_2,...,a_n)≧ \frac{n}{n-1} $$
が成り立つ．(等号成立は$a_1=a_2=...=a_n$)
$n=3$のとき，Nesbittの不等式と同じ式になります．これをn変数fudgingで証明します．
$$ f(a_1,a_2,...,a_n) ≧ \frac{na_1^{\frac{n}{n-1}}}{(n-1) \sum_{k=1}^{n} a_k^{\frac{n}{n-1}}} $$
を示す．
$i=2,...,n$に対し，$ b_i=(\frac{a_i}{a_1})^{\frac{1}{n-1}} $とする．
逆数を取ることにより
$$ n\sum_{i=2}^{n}b_i^{n-1} ≦(n-1)+(n-1)\sum_{i=2}^{n}b_i^{n} $$
を示せば良いが，
$b_2>0$のとき$ (n-1)b_2^n-nb_2^{n-1}≧-1$なので，各$i=2,3,...,n$について同様の式を足し合わせることによりこれは成り立つ．
よって示される．
このように，n変数fudgingを利用してn変数の一般化Nesbittの不等式を示すことができます．
これはおそらく初出の証明です．すごいですね．
以下に("n変数fudgingが使えそうな")演習問題を載せるので，n変数fudgingをマスターしたい皆さんは解いてみてください．
なぜ"使えそうな"なのかというと，難しすぎて筆者も解けなくて確認できないからです！研究が進み次第すぐに改変を行いますので，解答を思いついた方はすぐにかえでに教えてください．
n変数fudgingの演習問題
$n>1$を正の整数とする．正の実数$ a_1,a_2,...,a_n $が
$ a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=1 $を満たしている．
このとき，以下の不等式を示せ．
$$ \sum_{cyc} \frac{a_1^5}{a_2+a_3+...+a_n} ≧ \frac{1}{n(n-1)} $$
問題1の不等式を$n$変数に一般化できるか？
新しい問題を見つけ次第追加していきます．(2024/01/27)
最後に
今回この記事を書いていく上で1つ得た事実を書きます．
「n変数fudgingは使用する場面が殆ど無い上にかなり難易度が高いが，作問などで使えば難問を作れる可能性がある．」
以上です．是非上で述べた通り何かを発見した，もしくは思いついた場合はかえでに教えてください．
ここまで読んでくださりありがとうございました．
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