競技数学解説

文献あり

Involutionについて

ユークリッド幾何学,Involution

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かえでです．
Desargues involution theorem(デザルグの対合定理)の日本語での文献があまりなかったので書こうと思います．

前提知識

基本的に船旅(Euclidean Geometry in Mathmatical Olympiads)の第9章-射影幾何を履修済みであることを前提として書くものとする．

複比

conicにおける複比を定義する．

複比

conic $γ$ 上の点 $A, B, X, Y, P$ に対し， $(A, B; X, Y)_{γ} = \frac{\sin ∠ X P A}{\sin ∠ X P B} / \frac{\sin ∠ Y P A}{\sin ∠ Y P B}$ である．

逆に，このような比が一定になるような点 $P$ の軌跡をconicと定義することもある．

Involution

$P$ を直線またはconicとする． $f : P \to P$ が $P$ 上のinvolutionであるとは，以下を満たすことである．
・ $f \circ f$ は恒等写像である．
・ $f$ は $P$ 上の複比を保存する．
また， $P \in P$ について， $(P, f (P))$ をreciprocalな組であるという．

このような定義のもとで，Involutionの自由度について考えてみる．

$f : P \to P$ が複比を保存し，ある $A, B \in P$ が存在して $f (A) = B, f (B) = A$ を満たすとき， $f$ はinvolutionである．

$X \in P$ について， $Y = f (X), X^{'} = f (Y)$ とする．このとき，
$(A, B; X, Y) \overset{f}{=} (B, A; Y, X^{'}) = (A, B; X^{'}, Y)$ と計算できるから， $X = X^{'}$ を得る．

直線上のInvolution

直線上のInvolutionとして次のようなものがある．
・恒等変換
・対称移動
・等角共役
・反転
これらがInvolutionであることは容易に確かめられる．
また，反転はより一般的な表現であることが次の定理からわかる．

直線上のinvolutionは反転であり，その中心と無限遠点は移りあう．

$f$ を直線上のinvolutionとし， $O = f (\infty)$ とする．また， $(X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2})$ をreciprocalな組とする．このとき，
$(O, \infty; X_{1}, Y_{1}) \overset{f}{=} (\infty, O; X_{2}, Y_{2})$ から $\frac{O X_{1}}{O Y_{1}} = \frac{O Y_{2}}{O X_{2}}$ となり， $O X_{1} \times O X_{2} = O Y_{1} \times O Y_{2}$ が従う．

円錐曲線上のInvolution

$C$ をconicとし， $f$ を $C$ 上のinvolutionとする．このとき，ある点 $P$ が存在して，任意の $A \in C$ に対し， $f (A)$ を直線 $P A$ と $C$ の $A$ でない方の交点にできる．

これは純粋に射影的であるから， $C$ を円にできる． $(A_{1}, A_{2}), (B_{1}, B_{2}), (C_{1}, C_{2})$ をreciprocalな組とし， $X$ を $C$ 上の点とする． $X$ を中心とする反転で $C$ が移る先の直線を $l$ とする．また，この反転で $(A_{1}, A_{2}), (B_{1}, B_{2}), (C_{1}, C_{2})$ が移る先を $(A_{1}^{'}, A_{2}^{'}), (B_{1}^{'}, B_{2}^{'}), (C_{1}^{'}, C_{2}^{'})$ とし，これらをreciprocalな組に持つ $l$ 上のinvolutionを $f^{'}$ とする．このとき，定理2より $f^{'}$ はある反転変換に等しいから， $O \in l$ であって， $O A_{1}^{'} \times O A_{2}^{'} = O B_{1}^{'} \times O B_{2}^{'} = O C_{1}^{'} \times O C_{2}^{'}$ であるようなものが存在する．すなわち，円 $X A_{1}^{'} A_{2}^{'}$ ,円 $X B_{1}^{'} B_{2}^{'}$ ,円 $X C_{1}^{'} C_{2}^{'}$ は共軸である．よって， $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}$ は共点である．

Desargues Involution Theorem (DIT)

DIT

$C$ をconicとし，四角形 $A B C D$ は $C$ に内接しているとする．直線 $l$ が直線 $A B, C D, A D, B C, A C, B D$ と交わる点をそれぞれ $X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2}, Z_{1}, Z_{2}$ とし， $l$ と $C$ は $W_{1}, W_{2}$ で交わっているとする．このとき， $l$ 上のinvolutionであって， $(W_{1}, W_{2}), (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2})$ がreciprocalであるようなものが存在する．

$l$ を固定し $W_{1}, W_{2}, X_{1}$ を $W_{2}, W_{1}, X_{2}$ に移すような射影変換 $f$ を取る．定理1より $f$ はinvolutionであるから， $(X_{1}, X_{2})$ はreciprocalである．対称性から $(Y_{1}, Y_{2})$ がreciprocalであることを示せばよい．
$(X_{1}, Y_{1}; W_{1}, W_{2}) \overset{A}{=} (B, D; W_{1}, W_{2}) \overset{C}{=} (Y_{2}, X_{2}; W_{1}, W_{2}) = (X_{2}, Y_{2}; W_{2}, W_{1})$
と計算できるから， $f (Y_{1}) = Y_{2}$ が従う．

退化によって得られる次の系も有用である．

2 points DIT

$C$ をconicとし， $A, B \in C$ とする．直線 $A B$ は直線 $l$ と $X$ で交わり， $C$ の $A, B$ における接線は $l$ とそれぞれ $Y_{1}, Y_{2}$ で交わる．また， $l$ は $C$ と $W_{1}, W_{2}$ で交わっている．このとき， $l$ 上のinvolutionであって， $(W_{1}, W_{2}), (X, X), (Y_{1}, Y_{2})$ がreciprocalであるようなものが存在する．

3 points DIT

$C$ をconicとし，三角形 $A B C$ は $C$ に内接しているとする．直線 $l$ が直線 $A B, A C, B C$ と交わる点をそれぞれ $X_{1}, X_{2}, Y_{1}$ とし， $C$ の $A$ における接線は $l$ と $Y_{2}$ で交わる．また， $l$ は $C$ と $W_{1}, W_{2}$ で交わっている．このとき， $l$ 上のinvolutionであって， $(W_{1}, W_{2}), (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2})$ がreciprocalであるようなものが存在する．

次の難問はDITによって容易に討伐が可能である．

例題　(China TST 2017 TST2 P3)

四角形 $A B C D$ と直線 $l$ があり， $l$ と直線 $A B, C D, B C, D A, A C, B D$ はそれぞれ $X, X^{'}, Y, Y^{'}, Z, Z^{'}$ で交わっており， $X, Y, Z, X^{'}, Y^{'}, Z^{'}$ の順に並んでいる．このとき， $X X^{'}, Y Y^{'}, Z Z^{'}$ を直径とする円は共軸であることを示せ．

双対の準備

Involution

点 $P$ を通る直線束を $L$ とする． $f : L \to L$ が $L$ 上のinvolutionであるとは，以下を満たすことである．
・ $f \circ f$ は恒等写像である．
・ $f$ は $L$ 上の複比を保存する．
また， $l \in L$ について， $(l, f (l))$ をreciprocalな組であるという．

Dual of Desargues Involution Theorem (DDIT)

Dual of Desargues Involution TheoremとはDesargues Involution Theoremの双対という意味である．

DDIT

$C$ をconicとし，点 $P$ と $C$ に外接する四角形 $A B C D$ を取る． $E = A B \cap C D, F = A D \cap B C$ とし，直線 $P X, P Y$ を $P$ から $C$ への接線とする．このとき， $P$ を通る直線束上のinvolutionであって， $(P X, P Y), (P A, P C), (P B, P D), (P E, P F)$ がreciprocalであるようなものが存在する．

次の退化による系はDITと同様に有用である．

2 points DDIT

$C$ をconicとし， $A, B \in C$ と点 $P$ を取る． $A, B$ の $C$ における接線の交点を $X$ とし，直線 $P Y, P Z$ を $P$ から $C$ への接線とする．このとき， $P$ を通る直線束上のinvolutionであって， $(P Y, P Z), (P X, P X), (P A, P B)$ がreciprocalであるようなものが存在する．

3 points DDIT

$C$ をconicとし，点 $P$ と $C$ に外接する三角形 $A B C$ を取る．直線 $B C$ と $C$ の接点を $D$ とし，直線 $P X, P Y$ を $P$ から $C$ への接線とする．このとき， $P$ を通る直線束上のinvolutionであって， $(P X, P Y), (P A, P D), (P B, P C)$ がreciprocalであるようなものが存在する．

以下の問題はDDITを用いることで(DDITを用いない解答と比較して)非常に容易に示すことができる．

例題　(Taiwan TST 2014 Round3 TST P3)

三角形 $A B C$ の外接円上に点 $M$ をとる． $M$ から三角形 $A B C$ の内接円への接線と直線 $B C$ の交点を $X_{1}, X_{2}$ とする．三角形 $M X_{1} X_{2}$ の外接円は三角形 $A B C$ の $A$ -混線内接円と外接円の接点を通ることを示せ．

また，次のような問題2の一般化もDDITを用いて示すことができる．

問題2の一般化

内接円を $ω$ とする三角形 $A B C$ と $ω$ の外部の点 $P$ について， $P$ から $ω$ への接線と直線 $B C$ の交点を $S, T$ ，直線 $A P$ と直線 $B C$ の交点を $P^{'}$ ， $ω$ と $B C$ の接点を $D$ とする．このとき，円 $B C P$ ,円 $S T P$ ,円 $S P^{'} P$ は共軸である．

証明は私のツイートに載せてある．

2 points DITのさらに特殊な場合

natu(@natu_math)氏のツイートより

双曲線 $H$ 上に3点 $A, B, C$ を取る． $H$ の $A, B$ における接線と $H$ の $C$ における接線 $l$ の交点をそれぞれ $P, Q$ とし，直線 $A B$ と $l$ 交点を $X$ とする．このとき，(この順に並ぶとは限らない)4点 $X, P, Q, C$ は調和点列を成す．

( 引用元のツイート )

定理5 (2 points DIT)において，さらに $W_{1} = W_{2}$ とした場合を適用することにより， $l$ 上のinvolutionであって， $(C, C), (X, X), (P, Q)$ がreciprocalであるようなものが存在する．また，定理2よりこのinvolutionは $C X$ を直径とする反転であることが分かる．よって $X, P, Q, C$ は調和点列をなす．

練習問題

Serbia MO 2017 P6

三角形 $A B C$ において，その外接円を $Γ$ とし, $∠ A$ 内の傍接円を $ω_{A}$ とする． $Γ$ と $ω_{A}$ の共通外接線と直線 $B C$ の交点を $P, Q$ としたとき， $∠ P A B = ∠ C A Q$ を示せ．

解答　

作業中

IMO Shortlist 2015 G6

三角形 $A B C$ において，その内接円を $γ$ とし，線分 $B C$ の中点を $M$ とする．直線 $A M$ は $γ$ と $K, L$ で交わっており， $K, L$ を通り直線 $B C$ に平行な直線は $γ$ とそれぞれ $X, Y$ で再び交わっている．直線 $A X, A Y$ と直線 $B C$ の交点をそれぞれ $P, Q$ としたとき， $B P = C Q$ を示せ．