算数における円周角の定理とのつきあいかた

1. 円の中心$O$が円周角$\angle APB$の内部にあるとき
   直径$PC$をひく．$OA=OP$であるから$\angle OPA=\angle OAP$．$\angle COA$は三角形$OPA$の外角であるから$\angle COA=\angle OPA+\angle OAP=2\angle OPA$．同様に$\angle COB=2\angle OPB$．したがって
   $$\begin{array}{rcl}\angle AOB& =& \angle COA+\angle COB\\ & =& 2\angle OPA+2\angle OPB\\ & =& 2\angle APB\end{array}$$
   円の中心$O$が円周角$\angle APB$の内部にあるとき
2. 円の中心$O$が円周角$\angle APB$の辺上にあるとき
   線分$AP$が円の直径になるとして一般性を欠かない．$OP=OB$であるから$\angle OPB=\angle OBP$．$\angle BOA$は三角形$OPB$の外角であるから$\angle BOA=\angle OPB+\angle OBP=2\angle OPB$．したがって$\angle AOB=2\angle APB$．
   円の中心$O$が円周角$\angle APB$の辺上にあるとき
3. 円の中心$O$が円周角$\angle APB$の外部にあるとき
   点$B$が$\angle AOP$の内部にあるとして一般性を欠かない．直径$PC$をひく．$OA=OP$であるから$\angle OPA=\angle OAP$．$\angle COA$は三角形$OPA$の外角であるから$\angle COA=\angle OPA+\angle OAP=2\angle OPA$．同様に$\angle COB=2\angle OPB$．したがって
   $$\begin{array}{rcl}\angle AOB& =& \angle COB-\angle COA\\ & =& 2\angle OPB-2\angle OPA\\ & =& 2\angle APB\end{array}$$
   円の中心$O$が円周角$\angle APB$の外部にあるとき
   以上のいずれの場合も$\angle AOB=2\angle APB$であることが示された．（証明終了）

円周角の定理により，2つの弧に対する中心角の大きさは一致する．2つの弧に対応する弦は一致していたので，2円の半径の長さは一致する．2円の中心は共有された弦に関して互いに異なる側になかったので，2円は一致する．（証明終了）

数学における円周角の定理の証明を算数においてもそのまま用いることができる．（証明終了）

1. 線分$AB$に関して点$O$と点$P$が同じ側にあり，$\angle APB$が${90}^{\circ }$よりも小さいとき
   1. 点$O$が$\angle APB$の内部にあるとき
      直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime }$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle APB=\angle A^{\prime }PB (1) PA=P{A}^{\prime } (2) \angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A (3)\end{array}$$
      (1)から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle AP{A}^{\prime }=\angle APB+\angle A^{\prime }PB=2\angle APB=\angle AOB (4)\end{array}$$
      (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PA{A}^{\prime }$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
      $$\begin{array}{r}PA:A{A}^{\prime }=OA:AB (5) \angle PA{A}^{\prime }=\angle OAB (6)\end{array}$$
      (6)から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle BA{A}^{\prime }=\angle OAB-\angle OA{A}^{\prime }=\angle PA{A}^{\prime }-\angle OA{A}^{\prime }=\angle OAP (7)\end{array}$$
      (5)と(7)より三角形$BA{A}^{\prime }$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA (8)\end{array}$$
      (3)と(7)と(8)より
      $$\begin{array}{r}\angle OAP=\angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA\end{array}$$
      であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.i.のとき
   2. 点$O$が$\angle APB$の辺上にあるとき
      点$O$が線分$AP$上にあるとして一般性を欠かない．$\angle BOA$は三角形$OPB$の外角であるから$\angle OBP=\angle BOA-\angle OPB=\angle OPB$．よって三角形$OPB$は$OB=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.ii.のとき
   3. 点$O$が$\angle APB$の外部にあるとき
      点$B$が$\angle AOP$の内部にあるとして一般性を欠かない．直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime }$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle APB=\angle A^{\prime }PB (1) PA=P{A}^{\prime } (2) \angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A (3)\end{array}$$
      (1)から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle AP{A}^{\prime }=\angle APB+\angle A^{\prime }PB=2\angle APB=\angle AOB (4)\end{array}$$
      (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PA{A}^{\prime }$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
      $$\begin{array}{r}PA:A{A}^{\prime }=OA:AB (5) \angle PA{A}^{\prime }=\angle OAB (6)\end{array}$$
      (6)から以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle BA{A}^{\prime }=\angle PA{A}^{\prime }-\angle PAB=\angle OAB-\angle PAB=\angle OAP (7)\end{array}$$
      (5)と(7)より三角形$BA{A}^{\prime }$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
      $$\begin{array}{r}\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA (8)\end{array}$$
      (3)と(7)と(8)より
      $$\begin{array}{r}\angle OAP=\angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA\end{array}$$
      であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.iii.のとき
2. 線分$AB$に関して点$O$と点$P$が異なる側にあり，$\angle APB$が${90}^{\circ }$よりも大きいとき
   直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime }$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
   $$\begin{array}{r}\angle APB=\angle A^{\prime }PB (1) PA=P{A}^{\prime } (2) \angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A (3)\end{array}$$
   (1)から以下が従う．ただし$\angle AP{A}^{\prime }$と$\angle AOB$は${180}^{\circ }$よりも大きい方をとる．
   $$\begin{array}{r}\angle AP{A}^{\prime }=\angle APB+\angle A^{\prime }PB=2\angle APB=\angle AOB (4)\end{array}$$
   (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PA{A}^{\prime }$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
   $$\begin{array}{r}PA:A{A}^{\prime }=OA:AB (5) \angle PA{A}^{\prime }=\angle OAB (6)\end{array}$$
   (6)から以下が従う．
   $$\begin{array}{r}\angle BA{A}^{\prime }=\angle PA{A}^{\prime }+\angle PAB=\angle OAB+\angle PAB=\angle OAP (7)\end{array}$$
   (5)と(7)より三角形$BA{A}^{\prime }$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
   $$\begin{array}{r}\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA (8)\end{array}$$
   (3)と(7)と(8)より
   $$\begin{array}{r}\angle OAP=\angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA\end{array}$$
   であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
   2.のとき
3. 線分$AB$の上に点$O$があり，$\angle APB$が${90}^{\circ }$に等しいとき
   直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime }$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
   $$\begin{array}{r}\angle APB=\angle A^{\prime }PB (1) PA=P{A}^{\prime } (2) \angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A (3)\end{array}$$
   (1)から3点$A$，$P$，$A^{\prime }$は一直線上に並ぶ．(2)と$OA=OB$より三角形$BA{A}^{\prime }$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
   $$\begin{array}{r}\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA (4)\end{array}$$
   (3)と(4)より
   $$\begin{array}{r}\angle OAP=\angle BA{A}^{\prime }=\angle B{A}^{\prime }A=\angle OPA\end{array}$$
   であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
   3.のとき