算数における円周角の定理とのつきあいかた

1. 円の中心$O$が円周角$∠APB$の内部にあるとき
   直径$PC$をひく．$OA=OP$であるから$∠OPA=∠OAP$．$∠COA$は三角形$OPA$の外角であるから$∠COA=∠OPA+∠OAP=2∠OPA$．同様に$∠COB=2∠OPB$．したがって
   $$ \begin{eqnarray} ∠AOB&=&∠COA+∠COB\\ &=&2∠OPA+2∠OPB\\ &=&2∠APB \end{eqnarray} $$
   円の中心$O$が円周角$∠APB$の内部にあるとき
2. 円の中心$O$が円周角$∠APB$の辺上にあるとき
   線分$AP$が円の直径になるとして一般性を欠かない．$OP=OB$であるから$∠OPB=∠OBP$．$∠BOA$は三角形$OPB$の外角であるから$∠BOA=∠OPB+∠OBP=2∠OPB$．したがって$∠AOB=2∠APB$．
   円の中心$O$が円周角$∠APB$の辺上にあるとき
3. 円の中心$O$が円周角$∠APB$の外部にあるとき
   点$B$が$∠AOP$の内部にあるとして一般性を欠かない．直径$PC$をひく．$OA=OP$であるから$∠OPA=∠OAP$．$∠COA$は三角形$OPA$の外角であるから$∠COA=∠OPA+∠OAP=2∠OPA$．同様に$∠COB=2∠OPB$．したがって
   $$ \begin{eqnarray} ∠AOB&=&∠COB-∠COA\\ &=&2∠OPB-2∠OPA\\ &=&2∠APB \end{eqnarray} $$
   円の中心$O$が円周角$∠APB$の外部にあるとき
   以上のいずれの場合も$∠AOB=2∠APB$であることが示された．（証明終了）

円周角の定理により，2つの弧に対する中心角の大きさは一致する．2つの弧に対応する弦は一致していたので，2円の半径の長さは一致する．2円の中心は共有された弦に関して互いに異なる側になかったので，2円は一致する．（証明終了）

数学における円周角の定理の証明を算数においてもそのまま用いることができる．（証明終了）

1. 線分$AB$に関して点$O$と点$P$が同じ側にあり，$∠APB$が$90^{\circ}$よりも小さいとき
   1. 点$O$が$∠APB$の内部にあるとき
      直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime}$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠APB=∠A^{\prime}PB　(1)　　PA=PA^{\prime}　(2)　　∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A　(3) \end{eqnarray} $$
      (1)から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠APA^{\prime}=∠APB+∠A^{\prime}PB=2∠APB=∠AOB　(4) \end{eqnarray} $$
      (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PAA^{\prime}$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} PA:AA^{\prime}=OA:AB　(5)　　∠PAA^{\prime}=∠OAB　(6) \end{eqnarray} $$
      (6)から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠BAA^{\prime}=∠OAB-∠OAA^{\prime}=∠PAA^{\prime}-∠OAA^{\prime}=∠OAP　(7) \end{eqnarray} $$
      (5)と(7)より三角形$BAA^{\prime}$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠BA^{\prime}A=∠OPA　(8) \end{eqnarray} $$
      (3)と(7)と(8)より
      $$ \begin{eqnarray} ∠OAP=∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A=∠OPA \end{eqnarray} $$
      であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.i.のとき
   2. 点$O$が$∠APB$の辺上にあるとき
      点$O$が線分$AP$上にあるとして一般性を欠かない．$∠BOA$は三角形$OPB$の外角であるから$∠OBP=∠BOA-∠OPB=∠OPB$．よって三角形$OPB$は$OB=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.ii.のとき
   3. 点$O$が$∠APB$の外部にあるとき
      点$B$が$∠AOP$の内部にあるとして一般性を欠かない．直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime}$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠APB=∠A^{\prime}PB　(1)　　PA=PA^{\prime}　(2)　　∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A　(3) \end{eqnarray} $$
      (1)から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠APA^{\prime}=∠APB+∠A^{\prime}PB=2∠APB=∠AOB　(4) \end{eqnarray} $$
      (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PAA^{\prime}$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} PA:AA^{\prime}=OA:AB　(5)　　∠PAA^{\prime}=∠OAB　(6) \end{eqnarray} $$
      (6)から以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠BAA^{\prime}=∠PAA^{\prime}-∠PAB=∠OAB-∠PAB=∠OAP　(7) \end{eqnarray} $$
      (5)と(7)より三角形$BAA^{\prime}$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
      $$ \begin{eqnarray} ∠BA^{\prime}A=∠OPA　(8) \end{eqnarray} $$
      (3)と(7)と(8)より
      $$ \begin{eqnarray} ∠OAP=∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A=∠OPA \end{eqnarray} $$
      であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
      1.iii.のとき
2. 線分$AB$に関して点$O$と点$P$が異なる側にあり，$∠APB$が$90^{\circ}$よりも大きいとき
   直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime}$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} ∠APB=∠A^{\prime}PB　(1)　　PA=PA^{\prime}　(2)　　∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A　(3) \end{eqnarray} $$
   (1)から以下が従う．ただし$∠APA^{\prime}$と$∠AOB$は$180^{\circ}$よりも大きい方をとる．
   $$ \begin{eqnarray} ∠APA^{\prime}=∠APB+∠A^{\prime}PB=2∠APB=∠AOB　(4) \end{eqnarray} $$
   (2)と$OA=OB$と(4)より三角形$PAA^{\prime}$と三角形$OAB$とは相似であるから，以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} PA:AA^{\prime}=OA:AB　(5)　　∠PAA^{\prime}=∠OAB　(6) \end{eqnarray} $$
   (6)から以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} ∠BAA^{\prime}=∠PAA^{\prime}+∠PAB=∠OAB+∠PAB=∠OAP　(7) \end{eqnarray} $$
   (5)と(7)より三角形$BAA^{\prime}$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} ∠BA^{\prime}A=∠OPA　(8) \end{eqnarray} $$
   (3)と(7)と(8)より
   $$ \begin{eqnarray} ∠OAP=∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A=∠OPA \end{eqnarray} $$
   であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
   2.のとき
3. 線分$AB$の上に点$O$があり，$∠APB$が$90^{\circ}$に等しいとき
   直線$PB$に関して点$A$と対称な点$A^{\prime}$をとる．直線$PB$に関する対称性から以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} ∠APB=∠A^{\prime}PB　(1)　　PA=PA^{\prime}　(2)　　∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A　(3) \end{eqnarray} $$
   (1)から3点$A$，$P$，$A^{\prime}$は一直線上に並ぶ．(2)と$OA=OB$より三角形$BAA^{\prime}$と三角形$OAP$とは相似であるから，以下が従う．
   $$ \begin{eqnarray} ∠BA^{\prime}A=∠OPA　(4) \end{eqnarray} $$
   (3)と(4)より
   $$ \begin{eqnarray} ∠OAP=∠BAA^{\prime}=∠BA^{\prime}A=∠OPA \end{eqnarray} $$
   であるから，三角形$OAP$は$OA=OP$の二等辺三角形であると分かり，$OP=OA=OB$を得る．
   3.のとき