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チェビシェフの和の不等式

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チェビシェフの不等式(Chebyshev's inequality)
nを2以上の自然数として,実数の列{an},{bn}で,
a1a2an
b1b2bn
のとき,
1ni=1naibi(1ni=1nai)(1ni=1nbi)

浪人4月,次のように証明しました.
[証明]
D(aibi):=ni=1naibi(i=1nai)(i=1nbi)
として,
D(ai+dbi)=ni=1n(ai+d)bi(i=1n(ai+d))(i=1nbi)
D(ai+dbi)=D(aibi)
同様に,
D(aibi+d)=D(aibi)
D(ai+dbi+d)=D(aibi)
したがって,
i=1n(ai+d)=0
となるように,dを選ぶ.
すると,
あるiで,ai+d0ai+1+dをみたすものがあるので,
同じiで,bi+d0bi+1+dをみたすdを選べば,
D(ai+dbi+d)0
よって,証明された.□□

投稿日:20241225
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