チェビシェフの和の不等式

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チェビシェフの不等式（Chebyshev's inequality）
$n$ を2以上の自然数として，実数の列{ $a_{n}$ }，{ $b_{n}$ }で，
$a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}$
$b_{1} \leq b_{2} \leq \dots \leq b_{n}$
のとき，
$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \geq (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{i})$

浪人4月，次のように証明しました．
［証明］
$D (a_{i} ， b_{i}) := n \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i})$
として，
$D (a_{i} + d ， b_{i}) = n \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + d) b_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + d)) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i})$
$D (a_{i} + d ， b_{i}) = D (a_{i} ， b_{i})$
同様に，
$D (a_{i} ， b_{i} + d^{'}) = D (a_{i} ， b_{i})$
$D (a_{i} + d ， b_{i} + d^{'}) = D (a_{i} ， b_{i})$
したがって，
$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + d) = 0$
となるように， $d$ を選ぶ．
すると，
ある $i$ で， $a_{i} + d \leq 0 \leq a_{i + 1} + d$ をみたすものがあるので，
同じ $i$ で， $b_{i} + d^{'} \leq 0 \leq b_{i + 1} + d^{'}$ をみたす $d^{'}$ を選べば，
$D (a_{i} + d ， b_{i} + d^{'}) \geq 0$
よって，証明された．□□

投稿日：2024年12月25日

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