チェビシェフの和の不等式
チェビシェフの不等式（Chebyshev's inequality）
$n$を2以上の自然数として，実数の列{${a_{n}}$}，{${b_{n}}$}で，
$a_{1} \leq a_{2} \leq\cdots\leq a_{n} $
$b_{1} \leq b_{2} \leq\cdots\leq b_{n} $
のとき，
$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \geq({\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}}) ({{{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i}} }})$$
浪人4月，次のように証明しました．
［証明］
$$D({{a_{i}}}，{b_{i}}):=n{\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}
-(\sum_{i=1}^{n} a_{i}}) ({ \sum_{i=1}^{n} b_{i}})$$
として，
$$D({{a_{i}+d}}，{b_{i}})=n{\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+d)b_{i}
-(\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+d})) ({ \sum_{i=1}^{n} b_{i}})$$
$$D({{a_{i}}+d}，{b_{i}})=D({{a_{i}}}，{b_{i}})$$
同様に，
$$D({{a_{i}}}，{b_{i}+d'})=D({{a_{i}}}，{b_{i}})$$
$$D({{a_{i}+d}}，{b_{i}+d'})=D({{a_{i}}}，{b_{i}})$$
したがって，
$$ \sum_{i=1}^{n} (a_{i}+d)=0$$
となるように，$d$を選ぶ．
すると，
ある$i$で，$a_{i}+d \leq 0 \leq a_{i+1}+d$をみたすものがあるので，
同じ$i$で，$b_{i}+d' \leq 0 \leq b_{i+1}+d'$をみたす$d'$を選べば，
$$D({{a_{i}+d}}，{b_{i}+d'}) \geq 0$$
よって，証明された．□□
