チェビシェフの不等式(Chebyshev's inequality)nを2以上の自然数として,実数の列{an},{bn}で,a1≤a2≤⋯≤anb1≤b2≤⋯≤bnのとき,1n∑i=1naibi≥(1n∑i=1nai)(1n∑i=1nbi)
浪人4月,次のように証明しました.[証明],D(ai,bi):=n∑i=1naibi−(∑i=1nai)(∑i=1nbi)として,,D(ai+d,bi)=n∑i=1n(ai+d)bi−(∑i=1n(ai+d))(∑i=1nbi),,D(ai+d,bi)=D(ai,bi)同様に,,,D(ai,bi+d′)=D(ai,bi),,D(ai+d,bi+d′)=D(ai,bi)したがって,∑i=1n(ai+d)=0となるように,dを選ぶ.すると,あるiで,ai+d≤0≤ai+1+dをみたすものがあるので,同じiで,bi+d′≤0≤bi+1+d′をみたすd′を選べば,,D(ai+d,bi+d′)≥0よって,証明された.□□
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