PILAME杯2025

　ある文字列$S$を圧縮するとは，$S$内に同じ文字が$1$文字以上連続して現れる各箇所を，その文字$1$つと連続回数（を十進法で表記したもの）で置き換えることをいい，文字列$S$を圧縮してできる文字列を$f(S)$で表す．
　いま，$\mathrm{a, b, c}$からなる（使わないものがあってもよい）文字列$S$が以下の条件をみたしている．

　・$S$と$f(S)$の長さは等しく，かつ奇数である．

　文字列$S$の長さとしてありうる最小の値を$N$とするとき，長さ$N$の文字列$S$としてありうるものはいくつあるか．

　$AB=4,\ AC=5$なる三角形$ABC$の（周上を除く）内部に点$P$があり，
$$\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$$
をみたしている．直線$AP$と辺$BC$の交点を$D$とすると，$BD:DC=7:9$が成立した．このとき，線分$BC$の長さを求めよ．

　どの$2$辺の長さも等しくない鋭角三角形$ABC$がある．また，点$D$,$E$,$F$,$G$,$H$,$I$があり，以下の条件をすべてみたしている．

・点$D$,$E$は直線$BC$に関して$A$と反対側にあり，四角形$BCDE$は正方形である．
・点$F$,$G$は直線$CA$に関して$B$と反対側にあり，四角形$CAFG$は正方形である．
・点$H$,$I$は直線$AB$に関して$C$と反対側にあり，四角形$ABHI$は正方形である．

　直線$BF$,$CI$の交点を$P$，直線$BG$,$CH$の交点を$Q$，直線$CH$,$AE$の交点を$R$，直線$CI$,$AD$の交点を$S$，直線$AD$,$BG$の交点を$T$，直線$AE$,$BF$の交点を$U$とする．このとき，三角形$APQ$の外接円，三角形$BRS$の外接円，三角形$CTU$の外接円すべてが共通する$2$点を通ることを示せ．

　以下の条件をともにみたす整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

・$a,\, b,\, c$はこの順に等差数列をなす．
・$x$に関する$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$は重解をもち，さらにこの方程式の解はすべて整数である．

　鋭角三角形$ABC$の外接円を$\Gamma$，垂心を$H$，外心を$O$とする．$A$から辺$BC$におろした垂線の足を$D$，直線$BH$と$\Gamma$の交点のうち$B$でないものを$E$，三角形$AEH$の外接円と直線$DE$の交点のうち$E$でないものを$F$とすると，$3$点$A,F,O$はこの順に同一直線上に並び，加えて$BD=2,CD=5$が成立した．このとき，三角形$ABC$の面積を求めよ．

　鋭角三角形$ABC$の外接円を$\Gamma$，垂心を$H$とし，$3$頂点$A,B,C$から対辺におろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする．また，直線$AD$と直線$EF$の交点を$G$とし，直線$AH$と$\Gamma$の交点のうち$A$でない方を$S$，三角形$EFS$の外接円と$\Gamma$の交点のうち$S$でない方を$T$とし，$B,C$における$\Gamma$の接線の交点を$U$とする．$EF=25,\ BU=33,\ \angle BGC=2\angle BAC$が成り立つとき，線分$AT$の長さを求めよ．