乗法的微分方程式の解法

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この記事では、
$$\underbrace{(((a^a)^a)^{\cdots})^a}_{n個}=a^{(a^{n-1})}$$
を${}^{n}a$と書きます。

はじめに

通常の微分方程式みたいな乗法的微分の解法が知りたかったので書きます。

1.変数分離形

$$\sqrt[dx]{dy}=f(x)^{g(x)h(y)},\sqrt[dx]{dy}=f(y)^{g(x)h(y)}$$

前者は、
$$\begin{align}\exp(\frac{d}{dx}\ln y)&=f(x)^{g(x)h(y)}\\ \frac{d}{dx}\ln y&={g(x)h(y)}\ln f(x)\\ \frac{y'}{y}&={g(x)h(y)}\ln f(x)\\ \frac{dy}{yh(y)}&={g(x)}\ln f(x)dx\\ \int\frac{dy}{yh(y)}&=\int{g(x)}\ln f(x)dx\\ \end{align}$$
後者も同様に、
$$\int\frac{dy}{yh(y)\ln f(y)}=\int{g(x)}dx$$

乗法的微分方程式
$$\sqrt[dx]{dy}=f(x)^{g(x)h(y)},\sqrt[dx]{dy}=f(y)^{g(x)h(y)}$$についてそれぞれ、
$$\int\frac{dy}{yh(y)}=\int{g(x)}\ln f(x)dx$$
$$\int\frac{dy}{yh(y)\ln f(y)}=\int{g(x)}dx$$が成り立つ。

$$\begin{align}\sqrt[dx]{dy}&=y\\ \exp\left(\frac{d}{dx}\ln y\right)&=y\\ \frac{d}{dx}\ln y&=\ln y\\ \int\frac{1}{\ln y}d\ln y&=\int dx\\ \ln(\ln y)&=x+C_1\\ y&=e^{Ce^{x-1}}\\ y&=({}^x e)^C \end{align}$$
($C_1,C$は積分定数)

2.特性方程式

$$y^{**}(y^*)^py^q=1$$

$y={}^{rx}e$という解を予想する。
$y^*(x)=({}^{rx}e)^r,y^{**}(x)=({}^{rx}e)^{r^2}$なので、
$$y^{r^2+pr+q}=1$$
よって、
$$r^2+pr+q=0$$
特性方程式の解を$r=r_1,r_2$とすると、微分方程式の解は、
$$y=({}^{r_1x}e)^{C_1}({}^{r_2x}e)^{C_2}$$
また重解なら、
$$y=({}^{rx}e)^{C_1+C_2x}$$
($C_1,C_2$は積分定数)

乗法的微分方程式
$$y^{**}(y^*)^py^q=1$$
の解は、特性方程式$r^2+pr+q=0$の解を$r=r_1,r_2$として、
$$y=({}^{r_1x}e)^{C_1}({}^{r_2x}e)^{C_2}$$
重解なら、
$$y=({}^{rx}e)^{C_1+C_2x}$$
($C_1,C_2$は積分定数)

$$y^{**}(y^*)^{-5}y^6=1$$
特性方程式は、
$$r^2-5r+6=0$$
これを解いて、
$$y=({}^{2x}e)^{C_1}({}^{3x}e)^{C_2}$$
($C_1,C_2$は積分定数)

3.未定係数法

$$y^{**}(y^*)^py^q=g(x)$$

$y^{**}(y^*)^py^q=1$の一般解を$y_h$、$y^{**}(y^*)^py^q=g(x)$の特殊解を$y_p$として、
$y=y_hy_p$を$y^{**}(y^*)^py^q=g(x)$に代入すると、
$$({y_h}^{**}({y_h}^*)^p{y_h}^q)({y_p}^{**}({y_p}^*)^p{y_h}^p)=g(x)$$が成り立ち、
$${y_h}^{**}({y_h}^*)^p{y_h}^q=1$$
$${y_p}^{**}({y_p}^*)^p{y_p}^q=g(x)$$より両辺は等しい。

乗法的微分方程式
$$y^{**}(y^*)^py^q=g(x)$$の解は、
$y^{**}(y^*)^py^q=1$の一般解を$y_h$、$y^{**}(y^*)^py^q=g(x)$の特殊解を$y_p$として、
$$y=y_hy_p$$

$$y^{**}(y^*)^{-5}y^6={}^{4x} e$$
例2より、$y^{**}(y^*)^{-5}y^6=1$の一般解は$$y=({}^{2x}e)^{C_1}({}^{3x}e)^{C_2}$$
($C_1,C_2$は積分定数)
$y=({}^{4x} e)^a$
とおく。　
$$\begin{align}y^{**}(y^*)^{-5}y^6&={}^{4x} e\\ ({}^{4x} e)^{16a}({}^{4x} e)^{-20a}({}^{4x} e)^{6a}&={}^{4x} e\\ ({}^{4x} e)^{2a}&={}^{4x} e\\ a&=\frac{1}{2} \end{align}$$
よって解は、
$$y=({}^{2x}e)^{C_1}({}^{3x}e)^{C_2}({}^{4x} e)^{1/2}$$

4.積分因子法

$$y^*y^{P(x)}=Q(x)$$

$$(y^*y^{P(x)})^{\mu(x)}=\sqrt[dx]{dy^{\mu(x)}}$$
が成り立つ$\mu(x)$を考える。
$$\begin{align} (y^*y^{P(x)})^{\mu(x)}&=\left(\exp(\frac{d}{dx}\ln y)y^{P(x)}\right)^{\mu(x)}\\&= \left(\exp(\frac{y'}{y})y^{P(x)}\right)^{\mu(x)}\\&= y^{\mu(x)P(x)}\left(\exp\left(\mu(x)\frac{y'}{y}\right)\right) \end{align}$$

$$\begin{align} \sqrt[dx]{dy^{\mu(x)}}&=\exp(\frac{d}{dx}\ln(y^{\mu(x)}))\\ &=\exp(\frac{d}{dx}\mu\left(x\right)\ln y)\\ &=\exp\left(\mu'(x)\ln y+\mu(x)\frac{y'}{y}\right)\\ &=y^{\mu'(x)}\exp\left(\mu(x)\frac{y'}{y}\right) \end{align}$$
よって、
$$\mu(x)P(x)=\mu'(x)$$が成り立つことがわかる。
つまり、
$$\begin{align}\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}&=P(x)\\ \int\frac{d\mu(x)}{\mu(x)}&=\int P(x)dx\\ \ln(\mu(x))&=\int P(x)dx\\ \mu(x)&=\exp\left(\int P(x)dx\right) \end{align}$$
$$Q(x)^{\mu(x)}=\left(y^*y^{P(x)}\right)^{\mu(x)}=\sqrt[dx]{dy^{\mu(x)}}$$から、
$$\begin{align}y^{\mu(x)}&=\int \left(Q(x)^{\mu(x)}\right)^{dx} \end{align}$$
よって、
$$y=\sqrt[\mu(x)]{\int \left(Q(x)^{\mu(x)}\right)^{dx}}$$

乗法的微分方程式
$$y^*y^{P(x)}=Q(x)$$の解は、
$\mu(x)=\exp\left(\int P(x)dx\right)$として、
$$y=\sqrt[\mu(x)]{\int \left(Q(x)^{\mu(x)}\right)^{dx}}$$

5.定数変化法

$$y^*y^{P(x)}=Q(x)$$

$y^*y^{P(x)}=1$の解は、
$$\begin{align} y^*&=y^{-P(x)}\\ \exp(\frac{d}{dx}\ln y)&=y^{-P(x)}\\ \frac{d}{dx}\ln y&=-P(x)\ln y\\ \frac{y'}{y}&=-P(x)\ln y\\ \frac{dy}{y\ln y}&=-P(x)dx\\ \int\frac{dy}{y\ln y}&=-\int{P(x)}dx\\ \ln(\ln y)&=-\int P(x)dx\\ y&=\exp(\exp(-\int {P(x)}dx))\\ y&=\left({{}^{-\int {P(x)}dx} e}\right)^C \end{align}$$
($C$は積分定数)
定数$C$を関数$C(x)$と考える。
$$y=\left({{}^{-\int {P(x)}dx} e}\right)^{C(x)}$$を$$y^*y^{P(x)}=Q(x)$$に代入して、
$$\begin{align}{\left({}^{-\int P(x)dx} e\right)}^{C'(x)}&=Q(x)\\ C'(x)\ln\left({}^{-\int P(x)dx} e\right)&=\ln(Q(x))\\ C'(x)&=\frac{\ln(Q(x))}{\ln\left({}^{-\int P(x)dx} e\right)}\\ C'(x)&=\frac{\ln(Q(x))}{\exp\left(-\int P(x)dx-1\right)}\\ C'(x)&=\ln(Q(x))\exp\left(\int P(x)dx+1\right)\\ C(x)&=\int\ln(Q(x))\exp\left(\int P(x)dx+1\right)dx \end{align}$$
よって、
$$y=\left({{}^{-\int {P(x)}dx} e}\right)^{\int\ln(Q(x))\exp\left(\int P(x)dx+1\right)dx}$$

乗法的微分方程式
$$y^*y^{P(x)}=Q(x)$$
の解は、
$$y=\left({{}^{-\int {P(x)}dx} e}\right)^{\int\ln(Q(x))\exp\left(\int P(x)dx+1\right)dx}$$

6.微分演算子法

微分演算子

$$\sqrt[dx]{dy}=y^D$$と表すことにする。
また、
$$\sqrt[dx^n]{d^ny}=y^{D^n}$$とする。

性質

$$(f(x)^a)^D=(f(x)^D)^a$$
$$f(x)^{D^a+D^b}=f(x)^{D^a}f(x)^{D^b}$$(分配法則)

また、aとbを交換することは成り立たないが、この記事では以下のように書く。

$$({f(x)^{D+a}})^{D+b}=f(x)^{(D+a)(D+b)}$$

逆演算子

$$f(x)^{\frac{1}{D}}=\int f(x)^{dx}$$

$$f(x)^{\frac{1}{D+a}}=\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{-ax}}$$

(定理4参照)

$y={f(x)}^{\frac{1}{D+a}}$とおく。
つまり、
$$\begin{align} y^{D+a}&=f(x)\\ y^*y^a&=f(x)\\ \end{align}$$
積分因子は$e^{\int adx}=e^{ax}$なので、
$$y=\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{-ax}}$$
よって、
$$f(x)^{\frac{1}{D+a}}=\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{-ax}}$$

$$f(x)^{\frac{1}{(D+a)(D+b)}}=\left(\int \left({\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{b-ax}}}\right)^{dx}\right)^{e^{-bx}}$$

$$\begin{align}f(x)^{\frac{1}{(D+a)(D+b)}}&=(f(x)^{\frac{1}{(D+a)}})^{\frac{1}{(D+b)}}\\ &=\left(\int \left(\left(\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{-ax}}\right)^{e^{bx}}\right)^{dx}\right)^{e^{-bx}}\\ &=\left(\int \left({\left(\int \left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{dx}\right)^{e^{b-ax}}}\right)^{dx}\right)^{e^{-bx}}\end{align}$$

$$({}^{ax} e)^{\phi(D)}=({}^{ax} e)^{\phi(a)}$$

$$\left({}^{ax} e\right)^D=\left({}^{ax} e\right)^a$$
なので、これとは反対に積分していき、
$$\left({}^{ax} e\right)^{\phi(D)}=\left({}^{ax} e\right)^{\phi(a)}$$

$$\left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{\frac{1}{\phi(D)}}=\left(f(x)^{\frac{1}{\phi(D+a)}}\right)^{e^{ax}}$$

$$\begin{align}\left(f(x)^{e^{ax}}\right)^*&=\exp\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\ln(f(x))\right)\\ &=\exp\left(ae^{ax}\ln(f(x))+e^{ax}\frac{d}{dx}f(x)\right)\\ &=\left(\exp\left(a\ln(f(x))+\frac{d}{dx}f(x)\right)\right)^{e^{ax}}\\ &=\left(f(x)^af(x)^*\right)^{e^{ax}}\end{align}$$
よって、
$$\left(f(x)^{e^{ax}}\right)^D=\left(f(x)^{D+a}\right)^{e^{ax}}$$
これを繰り返し、または掛けることによって
$$\left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{\phi(D)}=\left(f(x)^{\phi(D+a)}\right)^{e^{ax}}$$
が成り立つ。
$$f(x)^{e^{ax}}=\left(\left({f(x)^{\frac{1}{\phi(D+a)}}}\right)^{\phi(D+a)}\right)^{e^{ax}}$$なので、
$$f(x)^{e^{ax}}=\left(\left(f(x)^{\frac{1}{\phi(D+a)}}\right)^{e^{ax}}\right)^{\phi(D)}$$
$$\left(f(x)^{e^{ax}}\right)^{\frac{1}{\phi(D)}}=\left(f(x)^{\frac{1}{\phi(D+a)}}\right)^{e^{ax}}$$

$$\left({}^{ax} e\right)^{\frac{1}{(D-a)^n}}=\left({}^{ax} e\right)^{\frac{x^n}{n!}}$$

公式5より、$f(x)=e^{\frac{1}{e}},\phi(D)=(D-a)^n$として、
$$\left(\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e^{ax}}\right)=\left(e^{e^{ax-1}}\right)={}^{ax} e$$
なので、
$$\begin{align}\left({}^{ax} e\right)^{\frac{1}{(D-a)^n}}&=\left(\left({e^{\frac{1}{e}}}\right)^{\frac{1}{D^n}}\right)^{e^{ax}}\\ &=\left(\exp\left(\frac{1}{D^n}\frac{1}{e}\right)\right)^{e^{ax}}\\ &=\left(\exp\left(\frac{x^n}{en!}\right)\right)^{e^{ax}}\\ &=\left(\exp\left(\frac{x^n}{n!}\right)\right)^{e^{ax-1}}\\ &=\left({}^{ax} e\right)^{\frac{x^n}{n!}}\end{align} $$

$$f(x)^{\frac{1}{a-D}}= f(x)^{\frac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{D}{a}\right)^n }$$

マクローリン展開より、
$$\frac{1}{a-D}=\frac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{D}{a}\right)^n $$
よって、
$$f(x)^{\frac{1}{a-D}}= f(x)^{\frac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{D}{a}\right)^n }$$