Twitter（現X）で見つけたFY23京大秋オープン第５問を解く

はじめに

　2023年の京大のオープン模試（河合塾主催）の第5問を解いていきます。

問題

2023年京大オープン模試（第5問）

　複素数の列$z_1,\ z_2,\ z_3,\ \cdots$を以下の式によって定める．
\begin{align} \begin{cases} z_1 = i, \\ z_{n+1} = \dfrac{z_n + |z_n|}{2}. \qquad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \end{cases} \end{align}
極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} |z_n|$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

解答

　$z_n = r_n (\cos{\theta_n} + i \sin{\theta_n}) \ (r_n \geq 0,\ 0 \leq \theta_n < 2 \pi)$とおく．このとき$r_1 = 1$，$\theta_1 = \pi/2$で，漸化式より
\begin{align} r_{n + 1} (\cos{\theta_{n+1}} + i \sin{\theta_{n+1}}) &= \frac{r_n (\cos{\theta_n} + i \sin{\theta_n}) + r_n}{2} \\ &= \frac{r_n}{2} ((\cos{\theta_n} + i \sin{\theta_n}) + 1) \\ &= r_n \cos{\frac{\theta_n}{2}} \left(\cos{\frac{\theta_n}{2}} + i \sin{\frac{\theta_n}{2}}\right). \end{align}
よって
\begin{equation} r_{n+1} = r_n \left|\cos{\frac{\theta_n}{2}}\right|, \qquad \theta_{n+1} = \frac{\theta_n}{2} + m \pi \ (m \in \mathbb{Z}) \end{equation}
を得る．$m$の偶奇は$\cos{(\theta_n/2)}$の符号によることに注意する．
　ここで以下$0 \leq \theta_n \leq \pi/2$であることを示す．$n = 1$のときは$\theta_1 = \pi/2$ゆえ成立し，$n = k$のときの成立を仮定すると
\begin{equation} r_{n + 1} (\cos{\theta_{n+1}} + i \sin{\theta_{n+1}}) = r_n \cos{\frac{\theta_n}{2}} \left(\cos{\frac{\theta_n}{2}} + i \sin{\frac{\theta_n}{2}}\right) \end{equation}
より，両辺の絶対値をとれば$r_{k+1} = r_k \cos{(\theta_k/2)}$が得られ，両辺の偏角を比較して$\theta_{k+1} = \theta_k/2 + 2 \ell \pi \ (\ell \in \mathbb{Z})$を得る．$0 \leq \theta_{k+1} < 2 \pi$かつ$0 \leq \theta_k \leq \pi/2$ゆえ$\ell = 0$で，このとき$0 \leq \theta_{k+1} = \theta_k/2 \leq \pi/4 \leq \pi/2$を得るから$n = k+1$でも成立．よって任意の自然数$n$に対して$0 \leq \theta_n \leq \pi/2$が成立する．
　以上より，$r_{n+1} = r_n \cos{(\theta_n/2)}$となるから
\begin{equation} r_{n+1} = r_n \cos{\frac{\theta_n}{2}}, \qquad \theta_{n+1} = \frac{\theta_n}{2} \end{equation}
よって$\theta_n = \theta_1/2^{n-1} = \pi/2^n$となり
\begin{align} r_n &= \cos{\frac{\theta_1}{2}} \times \cdots \times \cos{\frac{\theta_{n-1}}{2}} \\ &= \cos{\frac{\pi}{2^2}} \times \cdots \times \cos{\frac{\pi}{2^{n-1}}} \times \cos{\frac{\pi}{2^n}} \times \frac{\sin{\frac{\pi}{2^n}}}{\sin{\frac{\pi}{2^n}}} \\ &= \cos{\frac{\pi}{2^2}} \times \cdots \times \cos{\frac{\pi}{2^{n-2}}} \times \cos{\frac{\pi}{2^{n-1}}} \times \frac{\sin{\frac{\pi}{2^{n-1}}}}{2^1\sin{\frac{\pi}{2^n}}} \\ &= \cdots \\ &= \cos{\frac{\pi}{2^2}} \times \frac{\sin{\frac{\pi}{2^2}}}{2^{n-2} \sin{\frac{\pi}{2^n}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\pi}{2^1}}}{2^{n-1} \sin{\frac{\pi}{2^n}}} \\ &= \frac{1}{2^{n-1} \sin{\frac{\pi}{2^n}}}. \end{align}
$|z_n| = r_n$ゆえ
\begin{equation} \lim_{n \to \infty} |z_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2^n}}{\sin{\frac{\pi}{2^n}}} \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}. \end{equation}