高校の微分積分を攻略する上で必要な公式　上級編

うーん、ありふれた内容になっちゃうなあ

積分公式
・1/6公式系、ベータ関数
・ウォリス積分
・逆三角関数、逆双曲線関数
・$tan(\theta/2)$置換
・king propety

さらに高度
・重積分に帰着
・留数定理
・ファインマントリック
(※　編集中です)
[微分]
$$ (f^{-1})'=\frac{1}{f'f^{-1}} $$
$$ (f^g)'=(g'logf+ \frac{gf'}{f})f^g $$

頻出の微分(積分で用いる、知らないと困ることもある)
$$ (\frac{e^x}{x})'=\frac{e^x(x-1)}{x^2} $$
$$ (\frac{sinx}{x})'=\frac{xcosx-sinx}{x^2} $$
$$ (\frac{cosx}{x})'=\frac{xsinx+cosx}{x^2} $$

[積分公式]
①微分形の接触
$$ \int g(f(x))f'(x)dx=g'(f(x))+C $$

忘れがちな三角関数の積分(超重要)
$$ \int \frac{1}{sin^2x}dx=-\frac{1}{tanx}+C $$

$$ \int \frac{1}{tanx}dx=log|sinx|+C $$
$$ \int \frac{1}{sinxcosx}dx=log|tanx|+C $$
$$ \int \frac{1}{sinx}dx=\frac{1}{2}log|tan(\frac{x}{2})|+C $$
$$ \int \frac{1}{cosx}dx=\frac{1}{2}log|tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C $$

覚えなくてもいいが、覚えていると便利な三角関数の積分
$$ \int sin^2x dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}sin2x +C $$
$$ \int cos^2x dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}sin2x +C $$
$$ \int \frac{1}{sin^3x} dx=-\frac{cosx}{2sin^2x}+\frac{1}{2}log|tan(\frac{x}{2})|+C $$
$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx=\frac{sinx}{2cos^2x}+\frac{1}{2}log|tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C $$

②逆関数の積分
$$ \int f^{-1} dx=xf^{-1}-F \circ f^{-1}+C $$

双曲線関数とは
$$ sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$
$$ cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$
$$ tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$

逆双曲線関数とは
$$ arcsinh(x)=log(x+\sqrt{x^2+1}) $$
$$ arccosh(x)=log(x+\sqrt{x^2-1}) (x \geq 1) $$
※場合によっては$log(x+\sqrt{|x^2-1|}) $ を使うこともある

$$ arctanh(x)=\frac{1}{2} log(\frac{1+x}{1-x}) $$

①逆三角関数，逆双曲線関数の微分(超重要)
$$ (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (arctanx)'=\frac{1}{1+x^2} $$

$$ (arcsinhx)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

$$ (arctanhx)'=\frac{1}{1-x^2} $$

[積分テクニック]
①