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Aomoto-Drinfel'dの公式

多重ゼータ値を
$\begin{aligned} ζ (k_{1}, \dots, k_{r}) & := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \end{aligned}$
によって定義する. インデックスにおける2以上の成分の個数を高さという. 高さ1の多重ゼータ値の母関数として, 以下の公式が知られている.

Aomoto-Drinfel'dの公式

$\begin{aligned} \sum_{0 < a, b} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) x^{a} y^{b} & = 1 - \frac{Γ (1 - x) Γ (1 - y)}{Γ (1 - x - y)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x}{k}) & = \sum_{0 \leq r} x^{r} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r} < n} \frac{1}{n_{1} \dots n_{r}} \end{aligned}$
であることを用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 < a, b} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) x^{a} y^{b} & = x y \sum_{0 < n} \frac{\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x}{k})}{n (n - y)} \\ = y \sum_{0 < n} \frac{(x)_{n}}{n! (n - y)} \\ = 1 - \sum_{0 \leq n} \frac{(x)_{n} (- y)_{n}}{n! (1 - y)_{n}} \end{aligned}$
ここで, Gaussの超幾何定理より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(x)_{n} (- y)_{n}}{n! (1 - y)_{n}} & = \frac{Γ (1 - x) Γ (1 - y)}{Γ (1 - x - y)} \end{aligned}$
だから, 定理を得る.

ガンマ関数は
$\begin{aligned} Γ (1 + x) & = \exp (- γ x + \sum_{2 \leq n} \frac{(- 1)^{n} ζ (n)}{n} x^{n}) \end{aligned}$
と展開できるので, 上の公式は
$\begin{aligned} \sum_{0 < a, b} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) x^{a} y^{b} & = 1 - \exp (\sum_{2 \leq n} \frac{ζ (n)}{n} (x^{n} + y^{n} - (x + y)^{n})) \end{aligned}$
と書くことができる. よって, 以下を得る.