Aomoto-Drinfel'dの公式
多重ゼータ値を
\begin{align}
\zeta(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
によって定義する. インデックスにおける2以上の成分の個数を高さという. 高さ1の多重ゼータ値の母関数として, 以下の公式が知られている.
\begin{align} \sum_{0< a,b}\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)x^ay^b&=1-\frac{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}{\Gamma(1-x-y)} \end{align}
\begin{align}
\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{x}k\right)&=\sum_{0\leq r}x^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n}\frac 1{n_1\cdots n_r}
\end{align}
であることを用いると,
\begin{align}
\sum_{0< a,b}\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)x^ay^b&=xy\sum_{0< n}\frac{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{x}k\right)}{n(n-y)}\\
&=y\sum_{0< n}\frac{(x)_n}{n!(n-y)}\\
&=1-\sum_{0\leq n}\frac{(x)_n(-y)_n}{n!(1-y)_n}
\end{align}
ここで, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(x)_n(-y)_n}{n!(1-y)_n}&=\frac{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}{\Gamma(1-x-y)}
\end{align}
だから, 定理を得る.
ガンマ関数は
\begin{align}
\Gamma(1+x)&=\exp\left(-\gamma x+\sum_{2\leq n}\frac{(-1)^{n}\zeta(n)}nx^n\right)
\end{align}
と展開できるので, 上の公式は
\begin{align}
\sum_{0< a,b}\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)x^ay^b&=1-\exp\left(\sum_{2\leq n}\frac{\zeta(n)}{n}(x^n+y^n-(x+y)^n)\right)
\end{align}
と書くことができる. よって, 以下を得る.
高さ1の多重ゼータ値はRiemannゼータ値による多項式で表される. つまり,
\begin{align}
\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)\in\QQ[\zeta(2),\zeta(3),\zeta(4),\dots]
\end{align}
である.
特別な場合として, $n\geq 2$に対して$\zeta(1,n)$がRiemannゼータ値によって表されることはEulerによって既に示されていたことである.
