【自作解説】平方根の近似値の精度 -1

まえがき

こんにちは、高3のぱぺです。
突然ですがネタツイします。

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$$\text{足の速さで陸上競技に出たものの、水不足で出場前から命懸けのサバ}$$

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さて本題にいきましょう。

本題1 問題解説

問題(再掲)

今回出題の仕方を完全にミスった気がするんですよね。

解答

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$\displaystyle 80783.41<\frac{4\cdot169^3}{239}<80783.42$
↑ は？　ですね。

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せめて「$\displaystyle \frac{239}{4\cdot 169^3}<\abs{\sqrt{2}-\frac{239}{169}}<\frac{1}{2\cdot 169 \cdot 239}$ を示せ」にしたほうがよかった。

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本題2

(長ったらしい)契機

　私が今回・次回の記事を書く目的としては、私が今まであまり聞くことのなかった、(平方根の)近似値の精度を他の近似値に頼らず調べる方法を思いついたからです。

　まず、近似値は精度がどうであれ、基本 $\displaystyle \sqrt{2}\approx1.41 ,\; π\approx\frac{22}{7}$のように記号「$\approx$」を使って表すことができます。計算において、ある意味これは便利ですが、近似の精度を表すのには向きません。また、近似値が有限小数であっても、その値が近似値としてどこまで合っているのか、その情報を得ることができません。ここについての説明をしましょう。

　まず、$π\approx 3, \; 3.1, \; 3.14, \; 3.141$と表されることはあるので、この場合精度は桁数のとおりとなります。しかし世の中には $\displaystyle π\approx \frac{22}{7}(\approx 3.1428\cdots),\;\frac{355}{113}(\approx3.141592920\cdots)$ という近似も存在し、それらはある桁以降の数字が違っても近似として「$π\approx\cdots$」と表せます。ただ値が近いだけなら、$1+\phi\lessapprox e\lessapprox 2\sqrt{2}$ と「$\approx$」を用いて示すこともできるでしょう。 $π\approx3.1422$など、どうとでも言えてしまう。ただ、そこから「じゃあ $π=3.1422\cdots$ だ」とは言えません。有限小数だとしても桁数だけで精度を判断することはできません。

ではその精度をはっきり知るためにどうするかを考えます。

$\sqrt{2}$とその近似値 $1.41$ がどれだけ近いかを調べるとき、開平法などを使って無理やり$1.414<\sqrt{2}<1.415$を得て、それとの差を評価して $0.004<\sqrt{2}-1.41<0.005$ とするのもよいでしょう。
その場合、知りたい真の値と近似値 $1.41$ との誤差を知るためにより精度のよい近似値$(1.414, 1.415)$ で上下から評価するというやり方、ある意味では上位存在に頼ることで自分の正確さを調べるやり方となります。

今回は平方根に関してのみの話で、(開平法で直接精度の高い近似値を得る以外で)近似値の精度を(有理数評価で)調べる方法を思いついたので紹介します。

注意：有理数は筆算を用いることでその大きさを詳しく出せるため、セーフとします。(なんだそれ)

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$\sqrt{p} \;(p\in\mathbb{Q})$ とその近似値 $X\in\mathbb{Q^+}$

$\abs{\sqrt{p}-X}$を有理数を用いて近似することとします。
基本的には本題1で解説したようにします。

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はじめに

例えば先ほどの$\displaystyle \sqrt{2},\;\frac{239}{169}$ に関して
$$\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{239}{169}}=\frac{\sqrt{2}+\frac{239}{169}}{\frac{1}{169^2}}=169^2\sqrt{2}+169\cdot239$$
の整数部分を調べてもまあいいんですが、
$169^2\sqrt{2}=\sqrt{2\times169^4}=\sqrt{1631461442}$ の$\sqrt{〜}$ の中身を平方数で挟むのは流石に疲れますね。
ちなみに $\sqrt{1631461442}\approx40391.35\cdots$らしいです。
$169\cdot239=40391$ で、$169^2\sqrt{2}+169\cdot239\approx80782.35$ ですって。
それよりも先ほどの方がかなりいい評価ができていた気がしますね。

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$\sqrt{p}>X\;(>0)$ のとき

このときの評価を考えます。先ほどの問題は $\displaystyle p=2,X=\frac{239}{169}$ のときを考えていたんですよね。

まず、次の方程式を考える。
$$\sqrt{p}-X=\frac{1}{\sqrt{p}+X}\; t$$
これの解が $t=p-X^2>0$ であり、便宜的に $t$ のまま話を進める。
$\sqrt{p}< X$ である前提から、

$$2\sqrt{p}<\sqrt{p}+X<2X$$

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各辺の逆数をとって
$$\frac{1}{2\sqrt{p}}<\frac{1}{\sqrt{p}+X}<\frac{1}{2X}$$

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小辺の分母を有理化してさらに下から評価
$$\frac{X}{2p}<\frac{\sqrt{p}}{2p}<\frac{1}{\sqrt{p}+X}<\frac{1}{2X}$$

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各辺 $t\;(>0)$ 倍して
$$\frac{X}{2p}t<\frac{1}{\sqrt{p}+X}t<\frac{1}{2X}t$$

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整理すると, $t=p-X^2$ を用いて

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なお、なぜかこれらの評価の精度が高いので、$\sqrt{p}$とそのある近似値$X$ を用意して
$$X+\frac{X}{2p}\left(p-X^2\right)<\sqrt{p}< X+\frac{p-X^2}{2X}$$

とすると、より精度の高い$2$つの近似値を得られる。
以下に、$p=2$ のときで$\sqrt{2}$の近似値を考えよう。

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$\sqrt{p}< X$ のとき

少し符号を変えて次の方程式を考えます。
$$X-\sqrt{p}=\frac{1}{\sqrt{p}+X}\; t$$
これの解が $t=X^2-p>0$ であり、便宜的に $t$ のまま話を進める。

$\sqrt{p}< X$ である前提から、

$$2\sqrt{p}<\sqrt{p}+X<2X$$

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各辺の逆数をとって
$$\frac{1}{2X}<\frac{1}{\sqrt{p}+X}<\frac{1}{2\sqrt{p}}$$

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大辺の分母を有理化してさらに上から評価
$$\frac{1}{2X}<\frac{1}{\sqrt{p}+X}<\frac{\sqrt{p}}{2p}<\frac{X}{2p}$$

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各辺 $t\;(>0)$ 倍して
$$\frac{1}{2X}t<\frac{1}{\sqrt{p}+X}t<\frac{X}{2p}t$$

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整理すると, $t=X^2-p$ を用いて

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なお、なぜかこれらの評価の精度が高いので、$\sqrt{p}$とそのある近似値$X$ を用意して
$$X-\frac{X}{2p}\left(X^2-p\right)<\sqrt{p}< X-\frac{X^2-p}{2X}$$

$$\frac{X}{2p}\left(3p-X^2\right)<\sqrt{p}<\frac{p+X^2}{2X}$$

とすると、より精度の高い$2$つの近似値を得られる。
$\sqrt{p}>X \;(>0)$のときと$\sqrt{p}$ 近似の不等式は同じである。
以下に、$p=2$ のときで$\sqrt{2}$の近似値を考えよう。

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結論

また、

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余談

定理2の右半分の次の部分。
$$\sqrt{p}<\frac{p+X^2}{2X}$$
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当たり前のように、

と導出できますが、

これに見覚えのある方も多いと思います。
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ニュートン法

簡単に言えば：
$f(x)=0$ の実数解を求める際、グラフ $y=f(x)$ の接線の $x$切片の値をとることを繰り返し用いることで実数解の$1$つ $\alpha$ の値を近似的に求める手法。

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$\sqrt{p}$ は $x^2-p=0$の正の解であるから、$f(x)=x^2-p$ とおく。
(今回は)正の実数 $x_0$ を適当にとる。$n=0,1,2,\cdots$ とする。

$\displaystyle f(x)=x^2-p$ であることを踏まえて、
$$ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-p}{2x_n}$$
$\therefore\quad$$\displaystyle x_{n+1}=\frac{p+x_n^2}{2x_n}$

となる $\left\{x_n\right\}$ を考える。
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なお今回は $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ だが、$x_0>0$ 及び漸化式から帰納的に $x_n>0$ が云えるのは明らか。

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近似分数の話

先ほどの数列で、$p=2$ のとき、この$x_0$ に $\displaystyle 1,\;2,\;\frac{3}{2}$ などを入れることで、$\displaystyle \frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169}$などの近似分数が出てきた感じですね。
なぜかこれらは正則連分数表記での $\sqrt{2}$ の近似分数と一致しているんですよね。不思議。

あとがき

変な問題の出し方をしてしまったのと、こんなことで記事を書いていいのだろうかと思って、この記事を執筆しようかかなり迷いました。
本当はこういう感じではじめての論文とか作ってみたいんですが、できるんでしょうかね、これで。できないと思うなあ。

それと、ざざっと書いていてまだ全体を見ていないので、中途半端にこの記事が終わっているような気がしています。どうしよう。

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気を取り直して、最後にネタツイをしましょう。
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$\text{赤面したGHQ部員。}\quad\text{お顔が真っ赤ーサー}$
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では、また。

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更新欄

2025.9/8.17:35 投稿