メルカトール級数
今回はメルカトール級数ついてまとめてみた。
高校数学の範囲で示している。
メルカトール級数とはなんぞや
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}
$$
をメルカトール級数といい、$\log{2}$に収束する。
以下、$\mathbb{R}$上から$\mathbb{R}$への関数列$\{f_{n}\}_{n\in{\mathbb{N}}}$を以下で定める。
$$
f_{n}(x)=\dfrac{1-(-x)^{n}}{1+x}\quad (x\in{\mathbb{R}}).
$$
また、$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$を
$$
f(x)=\dfrac{1}{1+x}\quad (x\in{\mathbb{R}})
$$
で定める。
高校数学での証明
準備
$$ f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1} $$
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1}&=1\cdot\dfrac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}\\ &=f_{n}(x). \end{align*}
$$ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx=0. $$
任意の$n\in{\mathbb{N}}$と任意の$x\in[0, 1]$に対し
$$
0\leq{|f(x)-f_{n}(x)|}\leq{x^{n}}
$$
なので
$$
0\leq{\int_{0}^{1}|f(x)-f_{n}(x)|dx}\leq{\dfrac{1}{n+1}}.
$$
しかも、$\dfrac{1}{n+1}\to0\quad (n\to\infty)$なのではさみうちの原理より
$$
\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}|f(x)-f_{n}(x)|dx=0.
$$
$$ \therefore\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx=0. $$
本題の証明
補題1より
$$
f(x)-f_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x}-\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1}
$$
なので
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx&=\int_{0}^{1}\left\{\dfrac{1}{1+x}-\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1}\right\}dx\\
&=\log{2}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{n}.
\end{align*}
補題2より
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\log{2}.
$$
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