メルカトール級数

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n(-x{)}^{k-1}& =1\cdot {\displaystyle \frac{1-(-x{)}^n}{1-(-x)}}\\ & =f_n(x).\end{array}$$

任意の$n\in \mathbb{N}$と任意の$x\in [0,1]$に対し
$$0\le |f(x)-f_n(x)|\le x^n$$
なので
$$0\le {\int }_0^1|f(x)-f_n(x)|dx\le {\displaystyle \frac{1}{n+1}}.$$

しかも、${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$なのではさみうちの原理より
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1|f(x)-f_n(x)|dx=0.$$

$$\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1\{f(x)-f_n(x)\}dx=0.$$

補題1より
$$f(x)-f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x}}-\sum _{k=1}^n(-x{)}^{k-1}$$
なので
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\{f(x)-f_n(x)\}dx& ={\int }_0^1\{{\displaystyle \frac{1}{1+x}}-\sum _{k=1}^n(-x{)}^{k-1}\}dx\\ & =\log 2-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{n}}.\end{array}$$

補題2より
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}=\log 2.$$