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メルカトール級数

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今回はメルカトール級数ついてまとめてみた。

高校数学の範囲で示している。

メルカトール級数とはなんぞや

メルカトール級数

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n} $$
をメルカトール級数といい、$\log{2}$に収束する。

以下、$\mathbb{R}$上から$\mathbb{R}$への関数列$\{f_{n}\}_{n\in{\mathbb{N}}}$を以下で定める。
$$ f_{n}(x)=\dfrac{1-(-x)^{n}}{1+x}\quad (x\in{\mathbb{R}}). $$

また、$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
$$ f(x)=\dfrac{1}{1+x}\quad (x\in{\mathbb{R}}) $$
で定める。

高校数学での証明

準備

$$ f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1} $$

右辺から左辺を等比数列の和で

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1}&=1\cdot\dfrac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}\\ &=f_{n}(x). \end{align*}

$$ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx=0. $$

はさみうちの原理

任意の$n\in{\mathbb{N}}$と任意の$x\in[0, 1]$に対し
$$ 0\leq{|f(x)-f_{n}(x)|}\leq{x^{n}} $$
なので
$$ 0\leq{\int_{0}^{1}|f(x)-f_{n}(x)|dx}\leq{\dfrac{1}{n+1}}. $$

しかも、$\dfrac{1}{n+1}\to0\quad (n\to\infty)$なのではさみうちの原理より
$$ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}|f(x)-f_{n}(x)|dx=0. $$

$$ \therefore\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx=0. $$

本題の証明

補題1より
$$ f(x)-f_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x}-\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1} $$
なので
\begin{align*} \int_{0}^{1}\{f(x)-f_{n}(x)\}dx&=\int_{0}^{1}\left\{\dfrac{1}{1+x}-\sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1}\right\}dx\\ &=\log{2}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{n}. \end{align*}

補題2より
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\log{2}. $$

投稿日:2023621
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fancy
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高校数学の問題を主に解説していきたい。アウトラインだけ作って投稿する癖があるので、後で時間があるときに加筆修正。

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