某botさんの問題を解く［1］

整数問題botさんの解答を1から作ってみたいと思いました
初心者なの答案とか表記変だし間違ってるかもしれません
(まずかったら消します,多分途中で挫折します）
画像の名前
解
$gcd(n^2,5n^2+1)=1$より
$(n^2,5n^2+1)=(a^n,b^n)$($a,b$は正の整数)とかけて
ここで(★)を示す
(★)$n\geqq 5$かつ$a\geqq 2$のとき$n^2＜a^n$
(証明)
$a^n\geqq 2^n＞2{}_n{\mathrm{C}}_1+$+$2$${}_n{\mathrm{C}}_2$$＝n^2+n＞n^2$($\because$$n\geqq 5$)(終わり)
$(\mathrm{Ⅰ})$
$a=1$のとき
$n=1$となりこのとき$(m,n)=(1,6)$で成立
$(\mathrm{Ⅱ})$
$a\geqq 2$のとき
(★)より$n=1,2,3,4$の場合に限られる
$n=1$のとき$a=1$となり条件に反する
$n=2$のとき$21=b^2$を満たす正の整数$b$は存在せず不適
$n=3$のとき$46=b^3$を満たす正の整数$b$は存在せず不適
$n=4$のとき$81=b^4$このとき
$b=3$となりこのとき$(m,n)=(6,4)$
以上$(\mathrm{Ⅰ}),(\mathrm{Ⅱ})$より$(m,n)=(6,1),(6,4)$