7進付値を使って二重3乗根を外してみた

二重根号外し
https://twitter.com/icqk3/status/1720661506407493953
に画像で投稿した内容だけど、テキストも残しておこうと思って
問題：
https://twitter.com/icqk3/status/1720661506407493953
$\sqrt[3]{-2+5\sqrt{\frac{3}{7}}+37\sqrt[3]{\frac{4}{7}}}$
どこまでコンピュータを使って良いのかによってアプローチは様々だと思うけど、
「今回はコンピュータの利用範囲が7変数3次式の展開・整理程度で、答えを見つけることができました。」

元の式を$X$として、$F=7X^3$とおく（分数を解除するために$7$を掛けた）、すなわち $F = -14+75x+37yy, x^2=21, y^3=14$
$G^3=jF, G=a+by+cyy, j\in\mathbb{Z}, a,b,c\in\mathbb{Z}[x]$ と想定してみる。(jは7と互いに素と想定してみる)
$G^3$を展開すると$y^2$の係数が3の倍数になるので、$j=3k$と改めておく。
展開して$y$に関する係数比較的なことをすると
$F_1 = aaa+14bbb+196ccc+84abc-(-42+225x)k$
$F_2 = aab+14bbc+14cca$
$F_3 = abb+14bcc+caa-37k$
について、$F_1=F_2=F_3=0$が要求される。
7進orderをv(・)とする。略式には7で割り切れる回数で、$v(7)=1$とし、$v(x)=1/2,v(y)=1/3$である。
$v(F)=1/2$なので、$v(G)=1/6$、すなわち$v(a),v(by),v(cyy)$のどれかが1/6で残りはそれ以上である。
$v(a),v(b),v(c)$は1/2の整数倍にしかならないから、$v(cyy)=1/6$と分かり、すなわち$v(c)=-1/2, v(a)>0, v(b)\geq 0$と分かる。
$v(abb+14bcc+caa)=v(37k)=0$より、$v(abb), v(14bcc)=v(b),v(caa)=2v(a)-1/2$のどれかが0となる。$v(b)=0$と分かる。
$aab+14bbc+14cca=0$より、$v(aab)=2v(a), v(14bbc)=1/2, v(14cca)=v(a)$のうち小さい2つが一致する。$v(a)=1/2$と分かる。
従って、7と互いに素な整数$u,v,w$と、整数$A,B,C$によって、$a=7A+ux, b=v+Bx, c=C+wx/7$とおける。
$F_1,F_2,F_3$のxに関する1次部分と0次部分をそれぞれ7進的に展開していくと
（このあたりの展開と整理にコンピュータを使った）
$F_1$の1次部分を7で割った余りから、$k\equiv -2w^3 \pmod{7}$
$F_3$の0次部分を7で割った余りから、$v\equiv 4w \pmod{7}$
$F_2$の1次部分を7で割った余りから、$u\equiv 4w \pmod{7}$
$F_1$の0次部分を49で割った余りから、$C\equiv w \pmod{7}$
$F_3$の1次部分を7で割った余りから、$B\equiv 3w \pmod{7}$
$F_2$の0次部分を49で割った余りから、$A\equiv 4w \pmod{7}$
$k=-2w^3+7k_1$
$v=4w+7v_1$
$u=4w+7u_1$
$C=w+7c_1$
$B=3w+7b_1$
$A=4w+7a_1$
と改める
$F_1$の1次部分を49で割った余りから、$k_1\equiv 0 \pmod{7}$
$F_3$の0次部分を49で割った余りから、$v_1\equiv -2w \pmod{7}$
$F_2$の1次部分を49で割った余りから、$u1\equiv 0 \pmod{7}$
$F_1$の0次部分を343で割った余りから、$c_1\equiv 0 \pmod{7}$
$F_3$の1次部分を49で割った余りから、$B\equiv 0 \pmod{7}$
$F_2$の0次部分を343で割った余りから、$A\equiv 0 \pmod{7}$
$k_1=7k_2$
$v_1=-2w+7v_2$
$u_1=7u_2$
$c_1=7c_2$
$b_1=7b_2$
$a_1=7a_2$
と改める
$F_1$の1次部分を343で割った余りから、$k_2\equiv 2w^3 \pmod{7}$
ここで、$k_2=2w^3$とおいた時点で、$w^3$の項がすべて消えた。
すなわち$a_2=b_2=c_2=u2=v2=0$ とおくと$F_1$=$F_2$=$F_3$=0 となる。
復元して（斉次的なので、答えとしてはw=1と置いて良い）
$A=4, B=2, C=1, u=4, v=-10, k=96, j=288$
すなわち $G = a+by+cyy = (28+4x) + (-10+2x)y + (1+x/7)yy$ とおくと $G^3 = 288F = 2^3\cdot4\cdot9\cdot7\cdot X^3$ なので
$x=\sqrt{21}, y=14^{1/3}, z=(4\cdot 9\cdot 7)^{1/3}$ によって
$X = (F/7)^{1/3} = (14+2x)/z + (-5+x)y/z + (1+x/7)yy/2z$
$= 2^{1/3}\cdot 3^(-2/3)\cdot 7^(2/3) + 2^{1/3}\cdot 3^(-1/6)\cdot 7^{1/6}$
$ - 5\cdot 2^(-1/3)\cdot 3^(-2/3) + 2^(-1/3)\cdot 3^(-1/6)\cdot 7^(1/2)$
$ + 1/2 \cdot 3^(-2/3) \cdot 7^{1/3} + 1/2 \cdot 3^(-1/6) \cdot 7^(-1/6)$
$= (98/9)^{1/3} + (28/3)^{1/6} - 5\cdot (1/18)^{1/3} + (343/12)^{1/6} + 1/2\cdot (7/9)^{1/3} + 1/2\cdot (1/21)^{1/6}$
と表せた。（コンピュータで数値的に検算して計算間違いを修正したりした。）
・今回行き当たりばったりに探索した。この計算方法が一般的な状況でうまくいくものかどうかは分かっていない。