多重調和和の線型独立性
はじめに
インデックスに関する記法
整数$r\geq 0$に対して, 正整数の組$\bm k= (k_1,\ldots ,k_r)\in \mathbb {Z}_{>0}^r$をインデックスと言い, $\dep (\bm k) := r$を$\bm k$の深さと言います. また, 深さ$r$のインデックス全体の集合を$\mathcal I_r$で表し,
$$\mathcal I_{\leq r} :=\bigcup_{s=0}^{r}\mathcal I_s, \quad \mathcal I := \bigcup_{s=0}^{\infty}\mathcal I_s$$とおきます. さらに, 空でないインデックス$\bm k = (k_1,\ldots ,k_r)$に対して,
$$
\bm k _{-1}:=k_r, \quad \bm k_{\leftarrow} := (k_1,\ldots, k_{r-1})
$$
とおきます.
概要
多重調和和は次の有限級数により定義されます.
インデックス$\bm k = (k_1,\ldots ,k_r)$および正整数$N$に対して
$$
\begin{align*}
\zeta_N(\bm k) &:= \sum_{0< n_1<\cdots < n_r< N} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align*}
$$
を多重調和和という. ただし,$r=0$の場合は$\zeta_N(\emptyset)=1$とする.
また, これを$N$に関する数列とみなしたもの$(\zeta_N(\bm k))_{N=1}^{\infty}$もまた$\zeta_N(\bm k)$で表す.
この記事で示すのは次の定理です.
数列として, $\{\zeta_N(\bm k)\mid \bm k\in \mathcal I\}$は有理関数体$\bm \C(N)$上線型独立である.
とくに, $\Q$上の線型独立性は単射性定理Yamと呼ばれており, Hoffman代数$\mathfrak{H}_*^1$上の等式は対応する多重調和和の等式と等価であることが分かります.
証明
前進差分作用素$\Delta$を, $\Delta(a_N):= a_{N+1}-a_N$により定義します.
また, 整数$r\geq 0$に対して,
$$
S_r:= \{\zeta_N(\bm k)\mid \bm k\in \mathcal I_{\leq r}\},
\quad
V_r := \mathrm{span}_{\C(N)}S_r $$
とおきます.
まずは二つの補題を用意します.
$r\geq 0$のとき, 以下が成り立つ.
- $ (a_N)\in \C(N), \bm k \in \mathcal I_r$に対して
$$\Delta(a_N\zeta_N(\bm k)) - (\Delta a_N)\zeta_N(\bm k)\in V_{r-1}.$$
ただし$V_{-1} =0$とする. - $\Delta(V_r)\subset V_r$.
(1): $r = 0$のときは明らか. $r\geq 1$のときは, $\bm k = (k_1,\ldots ,k_r)$として
$$
\begin{align*}
\Delta(a_N\zeta_N(\bm k)) &= (\Delta a_N)\zeta_N(\bm k) + a_{N+1}\Delta(\zeta_N(\bm k))\\
&=(\Delta a_N)\zeta_N(\bm k)+ \frac{a_{N+1}}{N^{k_r}}\zeta_N(k_1,\ldots , k_{r-1})
\end{align*}
$$
より従う.
(2): (1)より従う.
$f\in \C(X)$に対して, $\Delta(f(X)) = f(X+1)-f(X)$は極を持たないか, 二つ以上の極を持つ.
(i) $f(X)$が極を持たない場合は$\Delta(f(X))$も極を持たない.
(ii) $f$が一つ以上の極を持つ場合, そのうち実部が最小のものと実部が最大のものをそれぞれ$\alpha,\beta$とする.
このとき$\Delta(f(X))$は$X=\alpha-1,\beta $を極に持つが, これらは相異なる.
定理の証明
命題「$S_r$は$\C(N)$上線型独立である」を, $r$に関する数学的帰納法で示します.
$r = 0$の場合は明らかなので, $r\geq 1$として, $S_{r-1}$の線型独立性を仮定します.
$S_r$が線型独立でないと仮定すると, ある$p\geq 1$に対して,$c_1(N),\ldots c_p(N) \in \C(N)\setminus\{0\}$および相異なるインデックス$ \bm k^{(1)},\ldots ,\bm k^{(p)} \in \mathcal I_r$であって,
$$
\sum_{i=1}^p c_i(N)\zeta_N(\bm k^{(i)})\in V_{r-1}
$$
となるものが存在します. ここで, これらを$p$が最小になるように取っておきます. 必要であれば$c_1(N)$で割ることで, とくに$c_1(N)=1$とすることができます.
$\Delta$を作用させることで, 一つ目の補題より
$$
\sum_{i=1}^p \Delta(c_i(N))\zeta_N(\bm k^{(i)})\in V_{r-1}
$$
を得ますが, $\Delta(c_1(N)) = 0$なので, $p$の最小性より$\Delta(c_i(N)) = 0$ $(1\leq i\leq p)$となります. すなわち, $c_1,\ldots ,c_p $は全て$N$によらない定数です.
ここで, 改めて
$$
\sum_{i=1}^p c_i\zeta_N(\bm k^{(i)}) = \sum_{\bm l \in \mathcal I_{\leq {r-1}}}c_{\bm l}(N)\zeta_N(\bm l)
$$
と表します. 両辺に$\Delta$を作用させると
$$
\sum_{i=1}^p \frac{c_i}{N^{\bm k^{(i)}_{-1}}}\zeta_N(\bm k^{(i)}_{\leftarrow}) = \sum_{\bm l \in \mathcal I_{\leq {r-1}}}\Delta(c_{\bm l}(N)\zeta_N(\bm l))
$$
を得ますが, これは$V_{r-1}$における等式であるため, 帰納法の仮定から両辺の$\zeta_N(\bm k^{(1)}_{\leftarrow})$の係数を比較することができます.すなわち, $\bm k^{(1)}_{\leftarrow} = \bm k^{(i)}_{\leftarrow}$となる$i$を小さい順に$i_1,\ldots ,i_q$とし,$ f(N) = c_{\bm k^{(1)}_{\leftarrow}}(N)$とおくと, 一つ目の補題により
$$
\sum_{k=1}^q\frac{c_{i_k}}{N^{\bm k^{(i_k)}_{-1}}} = \Delta(f(N))
$$
が成り立ちます. これは有理関数の等式であり,$\bm k^{(i_k)}_{-1}$たちは全て相異なることに注意すると, 左辺は$N=0$をただ一つの極に持つため, 二つ目の補題に矛盾します.
