Hardy-Hilleの公式の証明

一般Laguerre多項式の直交性
\begin{align} \int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_n^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)\,dx&=\frac{\Gamma(n+a+1)}{n!}\delta_{n,m} \end{align}

より, 示すべき式は
\begin{align} \frac 1{1-t}\int_0^{\infty}L_n^{(a)}(x)x^ae^{-x}\exp\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx=L_n^{(a)}(y)t^n \end{align}
と同値である. 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}L_n^{(a)}(x)s^n&=\frac 1{(1-s)^{a+1}}\exp\left(\frac{xs}{s-1}\right) \end{align}
であることから, 示すべき式は
\begin{align*} \frac 1{1-t}\frac 1{(1-s)^{a+1}}\int_0^{\infty}\exp\left(\frac{xs}{s-1}\right)x^ae^{-x}\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx&=\frac 1{(1-st)^{a+1}}\exp\left(\frac{yst}{st-1}\right) \end{align*}
となる. 左辺は
\begin{align*} &\frac 1{1-t}\frac 1{(1-s)^{a+1}}\int_0^{\infty}\exp\left(\frac{xs}{s-1}\right)x^ae^{-x}\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx\\ &=\frac 1{1-t}\frac 1{(1-s)^{a+1}}\exp\left(\frac{yt}{t-1}\right)\int_0^{\infty}\exp\left(x\frac{st-1}{(s-1)(t-1)}\right)x^a(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx \end{align*}
であり, ここで
\begin{align} (xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)&=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!\Gamma(n+a+1)}\frac{(xyt)^n}{(1-t)^{2n+a}} \end{align}
であることを用いて項別積分すると,
\begin{align*} &\int_0^{\infty}\exp\left(x\frac{st-1}{(s-1)(t-1)}\right)x^a(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx\\ &=\int_0^{\infty}\exp\left(x\frac{st-1}{(s-1)(t-1)}\right)x^a\sum_{0\leq n}\frac 1{n!\Gamma(n+a+1)}\frac{(xyt)^n}{(1-t)^{2n+a}}\,dx\\ &=\frac{(1-s)^{a+1}(1-t)^{a+1}}{(1-st)^{a+1}}\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\frac{(yt)^n}{(1-t)^{n+a}}\left(\frac{1-s}{1-st}\right)^n\\ &=\frac{(1-s)^a(1-t)}{(1-st)^{a+1}}\exp\left(yt\frac{1-s}{(1-t)(1-st)}\right) \end{align*}
これより,
\begin{align*} &\frac 1{1-t}\frac 1{(1-s)^{a+1}}\int_0^{\infty}\exp\left(\frac{xs}{s-1}\right)x^ae^{-x}\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx\\ &=\frac 1{(1-st)^{a+1}}\exp\left(\frac{yt}{t-1}\right)\exp\left(yt\frac{1-s}{(1-t)(1-st)}\right)\\ &=\frac 1{(1-st)^{a+1}}\exp\left(\frac{yst}{st-1}\right) \end{align*}
となって示すべき等式が得られる.