Hardy-Hilleの公式の証明

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一般Laguerre多項式を
$\begin{aligned} L_{n}^{(a)} (x) & = \frac{(a + 1)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (a + 1)_{k}} x^{k} \end{aligned}$
によって定義し, 変形Bessel関数を
$\begin{aligned} I_{a} (x) & := \sum_{0 \leq n} \frac{1}{n! Γ (n + a + 1)} {(\frac{x}{2})}^{2 n + a} \end{aligned}$
によって定義する.　ここでは以下の式を示す.

Hardy-Hilleの公式

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{n!}{Γ (n + a + 1)} L_{n}^{(a)} (x) L_{n}^{(a)} (y) t^{n} & = \frac{1}{1 - t} \exp (\frac{(x + y) t}{t - 1}) {(x y t)}^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) \end{aligned}$

一般Laguerre多項式の直交性
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a} e^{- x} L_{n}^{(a)} (x) L_{m}^{(a)} (x) d x & = \frac{Γ (n + a + 1)}{n!} δ_{n, m} \end{aligned}$

より, 示すべき式は
$\begin{array}{r} \frac{1}{1 - t} \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(a)} (x) x^{a} e^{- x} \exp (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x = L_{n}^{(a)} (y) t^{n} \end{array}$
と同値である. 母関数は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} L_{n}^{(a)} (x) s^{n} & = \frac{1}{(1 - s)^{a + 1}} \exp (\frac{x s}{s - 1}) \end{aligned}$
であることから, 示すべき式は
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - t} \frac{1}{(1 - s)^{a + 1}} \int_{0}^{\infty} \exp (\frac{x s}{s - 1}) x^{a} e^{- x} (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x & = \frac{1}{(1 - s t)^{a + 1}} \exp (\frac{y s t}{s t - 1}) \end{aligned}$
となる. 左辺は
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - t} \frac{1}{(1 - s)^{a + 1}} \int_{0}^{\infty} \exp (\frac{x s}{s - 1}) x^{a} e^{- x} (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x \\ = \frac{1}{1 - t} \frac{1}{(1 - s)^{a + 1}} \exp (\frac{y t}{t - 1}) \int_{0}^{\infty} \exp (x \frac{s t - 1}{(s - 1) (t - 1)}) x^{a} (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x \end{aligned}$
であり, ここで
$\begin{aligned} (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) & = \sum_{0 \leq n} \frac{1}{n! Γ (n + a + 1)} \frac{(x y t)^{n}}{(1 - t)^{2 n + a}} \end{aligned}$
であることを用いて項別積分すると,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \exp (x \frac{s t - 1}{(s - 1) (t - 1)}) x^{a} (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (x \frac{s t - 1}{(s - 1) (t - 1)}) x^{a} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{n! Γ (n + a + 1)} \frac{(x y t)^{n}}{(1 - t)^{2 n + a}} d x \\ = \frac{(1 - s)^{a + 1} (1 - t)^{a + 1}}{(1 - s t)^{a + 1}} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{n!} \frac{(y t)^{n}}{(1 - t)^{n + a}} {(\frac{1 - s}{1 - s t})}^{n} \\ = \frac{(1 - s)^{a} (1 - t)}{(1 - s t)^{a + 1}} \exp (y t \frac{1 - s}{(1 - t) (1 - s t)}) \end{aligned}$
これより,
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - t} \frac{1}{(1 - s)^{a + 1}} \int_{0}^{\infty} \exp (\frac{x s}{s - 1}) x^{a} e^{- x} (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x \\ = \frac{1}{(1 - s t)^{a + 1}} \exp (\frac{y t}{t - 1}) \exp (y t \frac{1 - s}{(1 - t) (1 - s t)}) \\ = \frac{1}{(1 - s t)^{a + 1}} \exp (\frac{y s t}{s t - 1}) \end{aligned}$
となって示すべき等式が得られる.