Fibonacci数列と黄金比
$f_n$をFibonacci数列の第$n$項とします. すなわち
$$
\left\{\begin{aligned}
f_1 &= f_2 = 1\\
f_{n + 2} &= f_{n + 1} + f_n
\end{aligned}
\right.
$$
です.
$$ f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right] $$
$n$に関する帰納法. $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $\bar{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$とする. すると$\varphi^2 = \varphi$ + 1, $\bar{\varphi}^2 = \bar{\varphi}^2 + 1$となる. $a_n = \sqrt{5}^{-1}(\varphi^n - \bar{\varphi}^n)$とする. すると$a_1 = a_2 = 1$となり, これらはそれぞれ$f_1, f_2$に等しい. $n > 2$とする.
\begin{align}
a_n &= \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n - \bar{\varphi}^n)\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^{n - 2}\varphi^2 - \bar{\varphi}^{n - 2}\bar{\varphi}^2)\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^{n - 1} + \varphi^{n - 2} - \bar{\varphi}^{n - 2} - \bar{\varphi}^{n - 2})\\ &= a_{n - 1} + a_{n - 2}
\end{align}
である. ゆえに帰納法の仮定から$a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2} = f_{n - 1} + f_{n - 2} = f_n$となる.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1}}{f_n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
$\varphi, \bar{\varphi}$を定理1の証明の通りとする. 定理1により
$$
\frac{f_{n + 1}}{f_n} = \frac{\varphi^{n + 1} - \bar{\varphi}^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n} = \frac{\varphi^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n} - \frac{\bar{\varphi}^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n}
$$
となる. $\abs{\bar{\varphi}} < 1$だから$n \to \infty$のとき$\frac{\bar{\varphi}^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n} \to 0$.
\begin{align}
\frac{\varphi^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n} - \varphi &= \frac{\varphi^{n + 1} - \varphi^{n + 1} + \bar{\varphi}^n \varphi}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n} \\ &= \frac{\bar{\varphi}^n \varphi}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n}
\end{align}
であり, これは$0$に収束するから, $\frac{\varphi^{n + 1}}{\varphi^n - \bar{\varphi}^n}$は$\varphi$に収束する. ゆえに$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1}}{f_n} = \varphi - 0 = \varphi$.
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