fnをFibonacci数列の第n項とします. すなわち{f1=f2=1fn+2=fn+1+fnです.
fn=15[(1+52)n−(1−52)n]
nに関する帰納法. φ=1+52, φ¯=1−52とする. するとφ2=φ+1, φ¯2=φ¯+1となる. an=5−1(φn−φ¯n)とする. するとa1=a2=1となり, これらはそれぞれf1,f2に等しい. n>2とする.an=15(φn−φ¯n)=15(φn−2φ2−φ¯n−2φ¯2)=15(φn−1+φn−2−φ¯n−2−φ¯n−2)=an−1+an−2である. ゆえに帰納法の仮定からan=an−1+an−2=fn−1+fn−2=fnとなる.
limn→∞fn+1fn=1+52
φ,φ¯を定理1の証明の通りとする. 定理1によりfn+1fn=φn+1−φ¯n+1φn−φ¯n=φn+1φn−φ¯n−φ¯n+1φn−φ¯nとなる. |φ¯|<1だからn→∞のときφ¯n+1φn−φ¯n→0.φn+1φn−φ¯n−φ=φn+1−φn+1+φ¯nφφn−φ¯n=φ¯nφφn−φ¯nであり, これは0に収束するから, φn+1φn−φ¯nはφに収束する. ゆえにlimn→∞fn+1fn=φ−0=φ.
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