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Fibonacci数列と黄金比

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fnをFibonacci数列の第n項とします. すなわち
{f1=f2=1fn+2=fn+1+fn
です.

fn=15[(1+52)n(152)n]

nに関する帰納法. φ=1+52, φ¯=152とする. するとφ2=φ+1, φ¯2=φ¯+1となる. an=51(φnφ¯n)とする. するとa1=a2=1となり, これらはそれぞれf1,f2に等しい. n>2とする.
an=15(φnφ¯n)=15(φn2φ2φ¯n2φ¯2)=15(φn1+φn2φ¯n2φ¯n2)=an1+an2
である. ゆえに帰納法の仮定からan=an1+an2=fn1+fn2=fnとなる.

limnfn+1fn=1+52

φ,φ¯を定理1の証明の通りとする. 定理1により
fn+1fn=φn+1φ¯n+1φnφ¯n=φn+1φnφ¯nφ¯n+1φnφ¯n
となる. |φ¯|<1だからnのときφ¯n+1φnφ¯n0.
φn+1φnφ¯nφ=φn+1φn+1+φ¯nφφnφ¯n=φ¯nφφnφ¯n
であり, これは0に収束するから, φn+1φnφ¯nφに収束する. ゆえにlimnfn+1fn=φ0=φ.

投稿日:2024127
更新日:311
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Anko7919
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