Hirsch 微分トポロジーの問題2.1.8 Prop(M,N)、2.1.9 Cov(M,N)、2.1.10

　開性は定理2.1.5そのものであるから、閉性を確認する。
(近傍の構成)
　任意に$f\in \mathrm{Prop}^c(M,N)$をとる。すると、あるコンパクト$ L \subset N $で$ P = f^{-1}(L) $がコンパクトでないものが存在する。
　これに対してコンパクト増大列(exhaustion)を取る事により、$x_1,x_2,…\in f^{-1}(L)$で、任意のコンパクト集合$K\subset M$に対して、$\{n|x_n\in K\}$が有限であるような列が取れる。
　定め方から、各$n$に対して$f(x_n)\in L$である事に注意する。
　今、各$y\in L$に対して、$N$のチャート$(\psi_y,V_y)$と開近傍$y\in O_y$を、$\overline O_y\subset V_y$かつ $\overline O_y$はコンパクトとなるように取る。
　このとき$\{O_y\}$はコンパクト集合$L$の開被覆なので、有限個$O_1,…,O_s$を選んで被覆できる。
　ここで、$C=\overline O_1\cup…\cup \overline O_s$とおくと、その定め方からコンパクトである。
　各$n$について、$f(x_n)\in L\subset O_1\cup…\cup O_s$であるから、ある$j(n)$があって$f(x_n)\in O_{j(n)}$である。よって$\psi_{j(n)}(f(x_n))\in\psi_{j(n)}(O_{j(n)})\subset\psi_{j(n)}(V_{j(n)})$であり、小さい$\varepsilon_n>0$が存在して、$B_{\varepsilon_n}(\psi_{j(n)}(f(x_n))\subset \psi_{j(n)}(O_{j(n)})$である。
　いま、列$\{x_n\}$は$M$内で局所コンパクト性より集積点をもたず、任意のコンパクト集合と有限個しか交わらないので、各$x_n$のチャート$(\phi_n,U_n)$を、族$\{U_n\}$が局所有限であるように取れる。
　また、各$n$に対して$K_n=\{x_n\}$(一点集合)とおくと、$f$の基本近傍として

$\mathcal N=\mathcal N(f;\{(\phi_n,U_n)\},\{(\psi_{j(n)},V_{j(n)})\},\{K_n\},\{\varepsilon_n\}))$

がとれる。
(近傍の非固有性)
　任意に$g\in \mathcal N$をとる。
　その定め方から、各$n$に対して$\left\| g(x_n)-f(x_n) \right\|<\varepsilon_n$であり、$\varepsilon_n$の定め方から、$g(x_n)\in O_{j(n)}\subset C$である。
　すなわち$\{x_n|n\in \mathbb N\}\subset g^{-1}(C)$が成り立つ。
　もし$g$が固有なら、$C$はコンパクトなので$g^{-1}(C)$もコンパクトであり、初めの注意より$\{x_n\}$とは有限個としか交わらないものであるはずなのでこれは矛盾。
　よって$g$は固有ではないため、$g\in \mathrm{Prop}^c(M,N)$。ゆえに$f\in \mathcal N\subset \mathrm{Prop}^c(M,N)$であり、よって任意の$f$にこのような開近傍がとれることから、$\mathrm{Prop}^c(M,N)$は開。すなわち$\mathrm{Prop}(M,N)$は閉。

(1.)
　$f$は被覆写像なので、その定義から局所微分同相写像であり、特にその微分$df_x:T_xM\to T_{f(x)}N$は同型である。
　よって$\dim M=\dim N$であり、$f$はsubmersionである。
　submersion全体は開集合なので、ある$f$の開近傍$\mathcal N_0$で、各元がsubmersionであるものが存在する。
　特に、$\dim M=\dim N$であるから、これは局所微分同相写像の集合でもある。

　ここで、$f$が被覆写像であることから、$N$の局所有限な相対コンパクト開被覆$\{V_i\}$とevenly covered(均等被覆(?))な開被覆$\{W_i\}$を、$\overline V_i\subset W_i$かつ$f^{-1}(W_i)=\sqcup_{\alpha\in A_i}U_{i,\alpha}$であり、$f_{i,\alpha}=f|_{U_{i,\alpha}}:U_{i,\alpha}\to W_{i,\alpha}$が微分同相写像であるようにとれる。
　必要に応じて$V_i$を縮めて、さらにその閉包を含むコンパクト集合$C_i$をえらんで、$\overline V_i\subset \mathrm{Int} C_i\subset C_i\subset W_i$となるようにする。
　ここで、$K_{i,\alpha}=f^{-1}_{i,\alpha}(C_i)$とおくと、これはコンパクトであり、$f_{i,\alpha}$の取り方から$f(K_{i,\alpha})=C_i$である。
　ここで、$\{K_{i,\alpha}\}$は$M$の局所有限なコンパクト集合である。
　実際、任意に$x\in M$をとる。$f$は局所微分同相であるので、$x$の近傍$O$と$f(x)$の近傍$P$が存在して、$f|_O:O\to P$は微分同相写像である。
　また、$\{C_i\}$は$N$で局所有限なので、$P$を十分小さくとれば、$N$が多様体なので$P$と交わる$C_i$は有限個になる。さらに、もし$P\cap C_i\neq \emptyset$なら、$P$をさらに縮めて、$P\subset W_i$となるようにできる。
この固定された$i$について、$O$は$f^{-1}(W_i)$の連結成分の高々一つとしか交わらない。したがって、$O$は有限個の$K_{i,\alpha}$としか交わらない。
　ゆえに、$\{K_{i,\alpha}\}$は局所有限である。

　いま、各$f_{i,\alpha}:U_{i,\alpha}\to W_i$は微分同相写像なので、特にembeddingである。$K_{i,\alpha}\subset U_{i,\alpha}$はコンパクトなので、系1.3(または定理1.4)と同様に近傍をとって、$g|_{K_{i,\alpha}}$がembedding(特に単射)であるようにできる。
　よって、この性質を満たすように$f$の近傍$\mathcal N_1$が取れる。

　また、$f(K_{i,\alpha})=C_i$であり、$\overline V_i\subset \mathrm{Int} C_i$であるから、$g$が$K_{i,\alpha}$上で$f$に$C^0_S(M,N)$の意味で十分近ければ、$\overline V_i\subset g(K_{i,\alpha})$が成り立つ。
　$\{K_{i,\alpha}\}$が局所有限なので、よってこの性質を満たすように$f$の近傍$\mathcal N_2$がとれる。

　さらに、$x \not\in f^{-1}(W_i) $ならば $f(x) \not\in W_i \supset \overline{V_i} $である。$ g $を$ f $に$ C^0_S(M,N) $の意味で十分近くとれば、$x \not\in f^{-1}(W_i) $のとき$ g(x) \not\in V_i $が成り立つ。
　よってこの性質を満たすように$f$の近傍$\mathcal N_3$が取れる。

　以上により、$\mathcal N=\mathcal N_0\cap\mathcal N_1\cap\mathcal N_2\cap\mathcal N_3$とおくと、これは$f$の$C^1_S(M,N)$の意味での近傍である。

　最後に、各$g\in \mathcal N$をとったとき、これが被覆写像である事を示す。

　$\mathcal N_3$の条件より$g^{-1}(W_i)\subset f^{-1}(W_i)=\sqcup_\alpha U_{i,\alpha}$が成り立つ。
　ここで、固定した各$i$と任意の$y\in V_i$について、$\mathcal N_2$の条件より、ある$\alpha$と$x\in K_{i,\alpha}$が存在して、$y=g(x)\in g(K_{i,\alpha})$。
また、$\mathcal N_1$の条件より、$g|_{K_{i,\alpha}}$は単射なので、そのような$x$は一意に定まる。
　$x\in U_{i,\alpha}$でもあるから、$x\in g^{-1}(V_i)\cap U_{i,\alpha}$。よって$y=g(x)$の任意性から、$V_i\subset g(U_{i,\alpha})$。
　今、$E_{i,\alpha} = g^{-1}(V_i) \cap U_{i,\alpha} $とおく。
　$g|_{U_{i,\alpha}} $は局所微分同相かつ$ V_i \subset g(U_{i,\alpha}) \subset W_i $であり、$g|_{K_{i,\alpha}} $はembedding であることから、$g|_{E_{i,\alpha}}: E_{i,\alpha} \to V_i $は全単射かつ局所微分同相となる。
　よって$ g|_{E_{i,\alpha}} $は微分同相である。
　異なる$ \alpha, \beta $に対しては、$E_{i,\alpha} $と$ E_{i,\beta} $の像は$V_i $の中で交わらない。($\mathcal{N}_3 $により$ g^{-1}(V_i) $の各点は$ f^{-1}(W_i) $の成分内に閉じ込められる。)
　したがって$ g^{-1}(V_i) = \bigsqcup_\alpha E_{i,\alpha} $となり、各$ E_{i,\alpha} $は$ V_i $に微分同相である。
　すなわち$g$は被覆写像であり、よって$g$の任意性から、$f\in \mathcal N\subset \mathrm{Cov}(M,N)$が成り立つ。
　$f$は任意の被覆写像であったので、これより被覆写像の集合$\mathrm{Cov}(M,N)$は開集合である。

(2.)
　標準事実「多様体間のproper local diffeomorphism(固有な局所微分同相写像)は被覆写像である」を使う。
　$f$はsubmersionなので、条件$\dim M=\dim N$より、各点$x\in M$について$df_x:T_xM\to T_{f(x)}N$は同型。よって逆関数定理により、$f$は局所微分同相写像である。
　また、$M$はコンパクトであるから、任意のコンパクト集合$K\subset N$に対して$f^{-1}(K)$は閉集合、すなわちコンパクトである。よって$f$は固有写像でもある。
　よって標準事実により、$f$は被覆写像である。

　任意に$y\in \mathbb R^n$をとって固定し、$f(x)=g(x)-y$とおく。
　条件から、
$\liminf_{r\to \infty} \max_{|x|=r} |x-g(x)|/|x|< k<1$なる$k$が存在する。
　ここで$\liminf$の定義から、十分大きい$r>0$をとれば、$r>|y|/(1-k)$かつ$\max_{|x|=r} |x-g(x)|/r< k$をみたすように取れる。
　よって$|x|=r$のとき$|x-g(x)+y|< kr+|y|< r$を得て、すなわち$|f(x)-x|< r$が成り立つ。
　いま、$f$が零点を持たないと仮定する。
　このとき特に、半径$r$の閉球$\overline B_r$上で$f\neq 0$である。
　したがって、$R:\overline B_r\to S^{n-1}_r$を$R(x)=rf(x)/|f(x)|$で定められて、とくにこれは連続写像である。
　いま、これの境界$S^{n-1}$への制限$R|_{S^{n-1}}$を$Q(x)$として、これを考える。
　境界上で$|f(x)-x|< r=|x|$が成り立っているので、任意の$t\in[0,1]$に対し$(1-t)x+tf(x)\neq 0$である。
　そこで、$H:[0,1]×S^{n-1}_r\to S^{n-1}_r$を
$H(t,x)=r((1-t)x+tf(x))/|(1-t)x+tf(x)|$
で定めると、それはちょうど恒等写像$id$から$Q(x)$へのホモトピーとなっている。
　しかし、定理「恒等写像とホモトピックな球面写像は円盤へ拡張できない」を考えると、$Q(x)$が円盤への拡張$R(x)$を持つことと矛盾する。
　よって$f$は$\overline B_r$に零点をとる$x$をもち、よってその$x$により$g(x)=y$となる。
　$y$は任意だったので、$g$は全射である。