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幾何の好きな話題を話す!(Advent math calendar 2023)

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こんにちは!らぐねるです。これは AMC(Advent Math Calendar)2023 の記事になります.何かテーマを1つに決めようと思ったのですが、決めきれなかったので、その時に書きたい!と思ったことを気まぐれで書いていこうと思います.結構めちゃくちゃな記事ですがどこでもいいので良いと思った部分があれば嬉しいです.

この記事には以下の問題のネタバレが含まれます:
IMO2015-3
EGMO2020 P3
USA TSTST 2022-6

1.作図の大切さについて

 皆さんは幾何の作図のことをどのように考えているでしょうか?僕は作図は幾何を解く上での半分を占めていると思っています.というのも,多くの問題において,キーとなる性質や非自明な性質は正確な図を描くことで予想できることが多いからです.確か、「三角形と円の幾何学」という本にも「初等幾何の問題を解く上での基本は,正確な図を描き,等しそうな辺や角を探してみる」といったようなことが書かれていたような気がします.さらに,正確な図を描くことができないと,誤った議論にも繋がってしまいます.僕は問題文で与えられた条件から、証明に必要な非自明な性質を知らない状態から導き出すのが苦手なので,作図を正確に行って,成り立ちそうな性質を予想して見通しを立てるということを意識して幾何の問題を解いています.その点では,フリーハンドで図を書いてバシバシ問題を解いていく人には本当に頭が上がりません.そういう方はこの記事をすべて読み飛ばして、幾何のコツを教えてほしいです().

 作図をする上での基本的なポイントは大きく分けて以下の3つです.

  1. できるだけ正確な図を描くこと
  2. 特別な場合の図を描かないこと
  3. 2つ以上の図を描くこと

 1は言わずもがなですね.
 2は,例えば三角形ABCを二等辺三角形でないのに二等辺三角形に見えるようにして図を描いてしまった場合,その図から条件を予想しようとすると,二等辺三角形だから成り立っている性質も予想に含んでしまう可能性があるということです.他にも,例えばある角が60,90,120 の場合などもいらぬ辺が等辺になってしまう可能性などが考えられます.
 3は,単純に2つ以上の図を描くことで予想の精度をあげられるということです.「この三角形2つはこっちの図だと相似に見えるけど,こっちの図だと相似に見えないから違うな」とか,「どちらの場合でもこの直線がこの点を通ってるからこれは成り立ちそう」といったムーブができるようになります.この場合極端に問題の三角形などの角度とかを変えた図を描くと良いでしょう.

何を予想するか?

 僕が意識しているのは次のようなポイントです.

  • ある2つの辺の関係(一方の辺の長さが片方の辺の整数倍になっているなど)
  • ある2つの直線の関係(平行、垂直など)
  • 3つの直線の共点
  • 2つの直線と1つの円の共点
  • 特別な点(外心、内心など)がある直線上にある
  • 2つの三角形、四角形の関係(相似,合同など)

作図のちょっとした小ネタ

 以下では作図を正確にする上での小ネタを書いていきます.めちゃくちゃ基本的なこと+しょうもないことが多いので各自適当に読み飛ばしてください.

三角形は外接円を描いてから描く

 三角形ABCを描くときはまず円を描いて,そこに3つの点を取りましょう(そうしないほうがいい例外はありますが).問題文中に外接円が出てこない場合でも描きましょう.多くの問題では外接円は使いますし,外接円が書いてあると他のオブジェクトを描きやすいです.

中点はコンパスのみで取る

 線分の中点は,線分の中点ぽい所にコンパスの針を差し,そこからコンパスを回したときに線分の端点が円上に来るように中心を微調整していき、ちょうどいいところで針のところに印をつければいい感じに取れます().効率悪そうですがめちゃくちゃ正確に書けるのでおすすめです.

外接円は本当にきれいに書く

 個人的な感想ですが,外接円のズレはかなり後の作図に響く印象です.しっかりコンパスの先端が3点すべてにぶち当たるように書きましょう.

内心,傍心はトリリウムの定理から描く

  トリリウムの定理 を使うと、二等分線を1回引いて外接円との交点をとり,コンパスを回すだけできれいに内心,傍心を描けます.二等分線は作図をする上で普通に描くとコンパスを3回使わないといけない厄介者です.できるだけ節約していきましょう.
 もっと言うとこの二等分線も、先述したように外接円が描いてあれば,辺の垂直二等分線(辺の中点と外心を結べば良い)と外接円の交点を取り,その辺と対する頂点と交点を結ぶことで実質コンパス1回で描くことができます.

垂心はまずある辺を直径とする円を描く

 三角ABCの垂心を書くとき,まずBCを直径とする円を書いて,その円とABACが交わる点をE,Dとして、BCCEの交点を取れば描けます.他にも楽な方法があるかもしれませんが、個人的にはこれが一番だと思っています.

傍心が3つ出てきたら傍心から描いて作図する

 有名事実として三角形ABCの傍心3つからなる三角形の垂足三角形(各頂点から対辺に下ろした垂線の足3つからなる三角形)は三角形ABCとなります.これを用いると傍心を先に描いて垂心を描き,垂足三角形を描いたほうが素直に傍心を3つ書くより断然早くて正確、ということになります.三角形ABCの外接円は傍心3つからなる三角形の九点円なので,傍心三角形の垂心,外心を取ってその中点を取れば楽に描けます.

描く順番を工夫する

 これは「獲得!金メダル!」とかにも書いてあったと思います.「点Xをとったところ,~となった」という問題では描く順番を工夫すると正確な図を描くことができることが多いです.例えば OMC186-(E) などがあります.この問題は正確な作図がぶっ刺さる問題の一つです(面白いので解いてみてください).この問題ではE,F,P,Q,R の順に点を取ろうとするとDQ=DRを作図できません.僕が ユーザー解説 ネタバレ要素を含みます)に書いているような順番にすると問題の性質を保ったまま綺麗に描くことができます.この作図の場合では少し幾何的な考察も挟む必要があるのですが,それは次で説明します.

描く前に幾何的な考察を挟んでみる

 先程言ったように描く前に少し幾何的な考察を挟んでみるときれいな作図法が見つかるかもしれません.例えば,次の問題があります.

EGMO2020 P3

凸六角形 ABCDEF において, A=C=E および B=D=F が成り立っている.
A,C,E の二等分線が一点で交わるとき B,D,Fの二等分線もまた一点で交わることを示せ.

 この図を考察無しでいきなり描こうとすると無理でしょう.しかし A=C=EB=D=F という条件をうまく解きほぐす(ネタバレになるので言えませんが)とA,C,E の二等分線が一点で交わるという条件を消せばこのような六角形をきれいに描けます.

 先程ネタバレになるので言えないと言いましたが,作図が難しい問題では,作図法を考えてみることで問題の条件をうまく言い換えできることが多いです(当たり前ですが).作図が難しい問題ではまず幾何的な考察をして作図法を考えてみるのも良いでしょう.

実際に問題を解く過程(USA TSTST 2022-6)

 最後に,僕がどうやって幾何を解いているかというのを思考過程を含めて描きたいと思います(ネタバレです).以下は僕のお気に入りの問題の一つです.

USA TSTST 2022-6

どの辺の長さも相異なる鋭角三角形 ABC において, 外心を O とし, 垂心を H とする. AH
の垂直二等分線が辺 AB,AC と交わる点をそれぞれ XA,YA とし, 三角形 OXAYA,BOC の外接円の交
点のうち O でない方を KA とする. また,B,C に対しても同様に KB,KC を定める. このとき, 4
O,KA,KB,KC は同一円周上にあることを示せ.

 まずは図を丁寧に描きます.(不必要な線が混じっていますが気にしないでください.)

USATSTST 2022-6 USATSTST 2022-6

 4点の共円を示す方法は次の3つがほとんどです.

  1. 内接四角形の対角の和が180であることを使う
  2. 4点を結ぶ線分のうち3つの垂直二等分線が1点で交わることを示す
  3. 4点のうちある1点で反転し,他の3つの像が共線であることを示す
  4. 4点のうちにない1点で反転し,4点の像が共円であることを示す

 この問題では何が使えそうかなぁと考えます.まずXA,YAが曲者なので反転はちょっと面倒くさそうです.次に1ですが,ここで考えるのは対称性です.この問題ではKA,KB,KCの点の取り方に対称性がありますが,1をやろうとするとこの対称性を崩すことになってしまいます.そもそも図がきつそうなのでやる気は起きないでしょう.一方2だとOKA,OKB,OKCの垂直二等分線の共点を示せば良いので,対称性を保ったまま証明を続けられます.ということで2を採用することになります.このような対称性の使い方は重要です.

 OKA,OKB,OKCすべてを同時に考えるのはだるすぎるので,まずOKAについてのみ考えていきます.(OXAYA)の中心をA1, (OBC) の中心をA2とします.OKAの垂直二等分線は直線A1A2です.というわけでこれを適当に延長してみます.するときれいな図を描いているので,これがAを通りそうだということが予想できます.(実際には2つ図を書いて予想の正当性を確認しています)これを示せたら,対称性より コスニタの定理 を使って決着となります(知らなくても複素で示せます).

 したがってAを通ることを示しに行きます.ここで結論からの逆算を考えてみます.Aを通ると仮定したら,一体何が見えるでしょうか・・・そうです,相似拡大です.AXAYAABCが相似なのでもろに相似拡大が刺さります.こういう考えができるのが予想の強いところですね.

 あとは仕上げですね.Aを中心とする相似拡大で(A1)(A2)にうつることを示せばいいです.これには色々なやり方がありますが,僕は長さ計算で示しました.AO(A2)と再び交わる点をLとします.(A2)に対するAの方べきの値を求めてALの長さを求め,AYA:AC=AO:ALを示す方針です.それほど多くない計算量でできます.普通に初等幾何でも示せます.よかったら考えてみてください.

 

 

2.IMO2015-3のオリジナル解法および一般化

IMO2015-3

鋭角三角形ABCAB>ACをみたしている.三角形ABCの外接円をΓ,垂心をHAから対辺におろした垂線のの足をFとおく.また、辺BCの中点をMとおく.点QΓ上の点でHQA=90をみたすものとし,点KΓ上の点でHQK=90をみたすものとする.A,B,C,K,Qは相異なる点であり,この順にΓ上にあるとする.
 このとき,三角形KQHの外接円と三角形FKMの外接円は互いに接することを示せ.

IMO2015-3 IMO2015-3

まず,僕はこれを公式解説とは全く異なった解法で解いたので紹介します.
ネタバレ注意









解答

AΓでの対蹠点をDとすれば,HQA=90よりQ,H,Dは共線であり,有名事実としてH,M,Dは共線なので特にQ,H,Mは共線.
Mを中心とする半径MCの円による反転fを考える.fで点Wが移る先をWと表す.有名事実として(AQH)fで不変であり,またQ,H,Mはこの順に同一直線上にあるので,(KQH)(=ωとおく)もfで不変である.よってK,Q,H,Kは共円.またB,C,K,Qは共円なのでB,C,K,Qも共円.よって直線KQ,KH,BC3(KQHK),(BCKQ),(BCKQ)の根心(Xとする)で交わる.
さらに,F,F,Q,Hも共円だから,FQM=90であり,QHωの直径だから,FQωに接する.ここで六角形HQQKKKにPascalの定理を適用すれば,ωQKにおける接線の交点,及び点X,M3点が同一直線上にあることがわかる.したがってFKωの接線である.ここで(KFM)fFKに移り,ωfで不変だから,ω(KFM)は接する.

反転後 反転後
ちなみに,この問題には次のような一般化があるようです.

一般化1

鋭角三角形ABCAB>ACをみたしている.三角形ABCの外接円をΓとし,Oを中心とする2B,Cを通る円が辺AC,ABとそれぞれ点D,Eで交わっているとする.CEDBの交点をHとする.また,点KおよびQΓ上の点であってAQH=HKQ=90をみたすものとする.さらに,HからBCに下ろした垂線の足をF,KOBCの交点をMとする.A,B,C,K,Qは相異なる点であり,この順にΓ上にあるとする.
 このとき,三角形KQHの外接円と三角形FKMの外接円は互いに接することを示せ.

IMO2015-3の一般化1 IMO2015-3の一般化1

これはAopsの IMO2015-3のページ でLeVietAns氏が投稿していたもの(説明しやすいように一部改題しました)です.これに関しても僕の解法を紹介します.

一般化1への解答

示すべきことはKQH=HKF+KMFと言い換えられる.ここで,KQBCの交点をSとすると,SKH=HFS=90だから4K,H,F,Sは共円.よってKMSHの交点をTとすると,HKF+KMF=HSF+KMF=KTSだから,K,Q,H,Tが同一円周上にあることを示せばよい.
一般化1-図1 一般化1-図1

DEBCの交点をUAUΓの交点をQOU(BCDE)の交点のうちBCに関してAと異なる側にあるものをIとする.Brocardの定理よりHは三角形AOUの垂心であり,AHは円Oに関するUの極線である.したがってUJI=UIO=90からUJIUIOとなるから,UI2=UJUOである.ここで方べきの定理よりUQUA=UCUB=UI2だからUQUA=UJUOであり,A,Q,J,Oは同一円周上にある.ゆえにHが三角形AOUの垂心であることからO,H,Qは共線であり,AQH=90である.よってQ=Qとなる.
OJI=OIU=90よりOJIOIUだからOI2=OJOU=OHOQ.したがってKM(KHQ)の交点をT(K)とすると,Oを中心とする半径OIの反転によってQHに,KTにうつる.B,Cはこの反転で不変であり,B,C,K,Qは共円だから,H,T,B,Cは共円である.したがって3直線KQ,TH,BC3(KQTH),(THBC),(BCKQ)の根心Sで交わる.よってT=Tであり,K,Q,H,Tは同一円周上にあることがわかるから,題意は示された.
一般化1-図2 一般化1-図2

ちょっと遠回りしてしまったかもしれません.もう少し改良できそうな気がします.
こんな風に問題の一般化が存在すると面白いですよね.他にも,buratinogigle氏による次の一般化が投稿されていました.

一般化2

 鋭角三角形ABCの外接円をOとし,点Pを三角形ABCの内部の点でBPC=180Aをみたすものとする.また,直線BP,CPはそれぞれ直線CA,ABE,Fで交わっているとし,円(AEF)と円Oの交点のうちAでないものをGとする.さらに,直径PGの円が円OKで再び交わっているとし,DPからBCにおろした垂線の足,及びMを線分BCの中点とする.
 このとき,(KPG)(KDM)は互いに接することを示せ.

これも面白いので興味のある人は考えてみてください.

3.推し問題について

China TST 2019 Test 3 P5

三角形ABCにおいて, 内心およびA内の傍心をそれぞれI,Jとする. また,ABC
おろした垂線の足をDとする. 直線AB上に2E,Fがあり,BD=BE=BFをみたしている. た
だし,4A,E,B,Fはこの順にある. このとき, 三角形ABCの外接円上に2P,Qを, 三角形 PEI
と三角形QFJが相似であり, かつPB=QCが成り立つようにとれることを示せ.

 示すべきことが「~であるような点が取れることを示せ」という珍しい形の幾何です.とっつきにくいかもしれませんが,ちゃんとしたモチベのある(すなわち、やばい天啓とかではない)補助線を引くことできれいに解くことができる大好きな問題です.個人的に2番級ぐらいです.

 書いていて気づいたのですが、推し問題の紹介ってネタバレを含まないように良いところを解説していくのが難しいですね….

EGMO2020 P3

凸六角形 ABCDEF において, A=C=E および B=D=F が成り立っている.
A,C,E の二等分線が一点で交わるとき B,D,Fの二等分線もまた一点で交わることを示せ.

 主張がめちゃくちゃ綺麗ですね.こういった対称性のある六角形幾何(ISL2013G5とか)はハズレがない印象です.条件の言い換えが素晴らしく、とにかく楽しいです.個人的に2番級ぐらいです.

JapanTST 2022 P6

MNを直径とする円ωおよびその内部の点Aがある.Nを中心とし, Aを通る円がω2
B,Cで交わっている. 線分 BC上にBAP=CAQなるP,Qをとる. 直線 NP,NQωの交点の
うちNでない方をそれぞれX,Yとするとき, 直線XQ,YP,AMが一点で交わることを示せ.

 この問題を一言で表すなら,「教育的」でしょう.さまざまな手法がいい感じに詰まっていて,ステップを重ねていくのが楽しい問題です.2.5番級といったところだと思います.

China TST 2015 TST2 P3

鋭角三角形ABCがあり, O を外心, Gを重心とする. Dを線分BCの中点とし, 線分BCを直
径とする円上の点Eが, 三角形ABCの内部にあり, AEBC をみたしている. Fを直線EGOD
の交点とし, FKOB,FLOCをみたすように, 線分BC上に点K,Lをとる. 直線AB,AC上にそ
れぞれ点 M,Nがあり, MKBC,NLBCをみたしている.
直線 OB,OCとそれぞれ B,Cで接する円をωとしたとき, 三角形AMNの外接円とωは接すること
を示せ.

 初見では点が多すぎてやばいと感じるかもしれませんが,これはChina TST あるある(?)です.接円問題というのは神問であることが多いのですが,これはガチの神問です.複雑な図をきれいに解きほぐしていくのが最高です.2.8番級ぐらいだと思います.

終わりに

 ここまで読んでいただきありがとうございました.時間に追われながら無計画にその場で思いついたことを書いたのでハチャメチャな記事になってしまいました.もっと余裕があるときにしっかりとした記事は書いてみたいという気持ちがあります.需要があれば問題の思考過程とかを書きたいですね.この記事が少しでも誰かの役に立てば嬉しいです.
 それでは,良い幾何ライフを!

投稿日:2023129
更新日:2023129
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  1. 1.作図の大切さについて
  2. 何を予想するか?
  3. 作図のちょっとした小ネタ
  4. 実際に問題を解く過程(USA TSTST 2022-6)
  5. 2.IMO2015-3のオリジナル解法および一般化
  6. 解答
  7. 一般化1への解答
  8. 3.推し問題について
  9. China TST 2019 Test 3 P5
  10. EGMO2020 P3
  11. JapanTST 2022 P6
  12. China TST 2015 TST2 P3
  13. 終わりに