問題は
こちら
です．個人的な解答だけ載せます．
ちなみに大学への数学での難易度はたしか$\mathrm C$でした．
成立しない．
成立すると仮定．このとき$n$または$n+1$が平方数である．しかし，$2$つの連続する正の整数がどちらも平方数になることはないので矛盾．(証明終)
成立しない．
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\in \mathbb{Q}$と仮定．このとき，$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{a}{b}$と表せる．ここで
\begin{align*}
\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\dfrac{b}{a}\in\mathbb{Q}
\end{align*}
より，
\begin{align*}
\sqrt{n+1}&=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\Bigr)\in \mathbb{Q}\\
\sqrt{n}&=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}\Bigr)\in \mathbb{Q}\\
\end{align*}
となるが，これは命題$p$が成立しないので矛盾．(証明終)