コンマ圏なんもわからん

圏の引き戻しの構成を考えることで、コンマ圏$(F\downarrow\mathcal{C})$が$\mathcal{A}\xrightarrow{F}\mathcal{C}\xleftarrow{D_0}\mathcal{C}^\CArr$の引き戻しに、$(\mathcal{C}\downarrow G)$が$\mathcal{C}^\CArr\xrightarrow{D_1}\mathcal{C}\xleftarrow{G}\mathcal{B}$の引き戻しになっていることがわかる。
さらに$(F\downarrow\mathcal{C})\to\mathcal{C}^\CArr\leftarrow(\mathcal{C}\downarrow G)$の引き戻しは、写される先の対象が等しいならばそれは$f\colon Fa\to Gb$の形であることが成り立つため、コンマ圏$(F\downarrow G)$を構成することがわかる。

$u\colon c\to Fd$が$c$から$F$への普遍射であるとは、任意の$f\colon c\to Fx$に対して$\mathcal{D}$の射$\bar{f}\colon d\to x$がただ1つ存在して、$f=F\bar{f}\circ u$を満たすことである。これをコンマ圏$(c\downarrow F)$の言葉で置き換えると、任意の$(x,f)\in(c\downarrow F)$に対して射$\bar{f}\colon(d,u)\to(x,f)$が存在することであり、これは$(x,f)$が$(c\downarrow F)$の始対象であることと同値である。

米田の補題から$\CSet^{\mathcal{C}}(\mathcal{C}(c,\_),F)\simeq Fc$であるため、$F$の要素の圏の対象とコンマ圏$(y\downarrow F)$の対象の間には全単射が存在する。またこの関係は$c$についても自然なので、これによって関手$\varphi\colon y\downarrow F\to\mathop{\mathrm{el}}(F)$と$\psi\colon\mathop{\mathrm{el}}(F)\to y\downarrow F$が定まり、米田の補題が自然同型を示すことから、$\varphi$と$\psi$は互いの逆関手となる。

$F$の要素の圏はコンマ圏$(y\downarrow F)$と同型であるため、これを用いて関手$\check{F}\colon\mathop{\mathrm{el}}(F)\cong(y\downarrow F)\to\mathcal{C}^\op\xrightarrow{y}\CSet^{\mathcal{C}}$を取ると、これは表現可能関手からなる図式を構成する。
この関手の余極限が$F$であることを示す。各$(c,x)\in\mathop{\mathrm{el}}(F)$に対して、$\check{F}$はこれを$\mathcal{C}(c,\_)\in \CSet^{\mathcal{C}}$に送る。また米田の補題から、$\tau_c^x(\id_c)=x$を満たす自然変換$\tau^x\colon\mathcal{C}(c,\_)\Rightarrow F$が存在する。これによって$F$への余錐が構成される。

$\check{F}$から$G$への余錐を$(\upsilon^x\colon\mathcal{C}(c,\_)\Rightarrow G)_{(c,x)\in\mathop{\mathrm{el}}(F)}$と表す。このとき、$c\in\mathcal{C}$に対して$x\mapsto\upsilon^x_c(\id_c)$によって写像$\gamma_c\colon Fc\to Gc$が定まり、さらにこれは$c$について自然である。

$(c,x)\in(y\downarrow F)$と$f\colon c\to c'$に対して、
\begin{align} \gamma_{c'}\circ\tau^x_{c'}(f) &= \gamma_{c'}(Ff(x))\\ &= Gf(\gamma_c(x))\\ &= Gf(\upsilon^x_c(\id_c))\\ &= \upsilon_{c'}^{x}(f) \end{align}
が成り立つため、$\gamma\circ\tau^x=\upsilon^x$が成り立ち、$\gamma$の決定方法からこれは一意であることがわかる。以上より$F$は$\check{F}$の余極限である。

余完備な圏への関手$F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{B}$と集合値関手$A\colon\mathcal{C}^\op\to\CSet$に対して、$\bar{F}A\in\mathcal{B}$を
$$\bar{F}A:=\Colim((y\downarrow A)\xrightarrow{p_A}\mathcal{C}\xrightarrow{F}\mathcal{B})$$によって定める。自然変換$\alpha\colon A\Rightarrow A'$はコンマ圏の間の関手$(y\downarrow\alpha)\colon(y\downarrow A)\to(y\downarrow A')$を定めるが、これは要素の圏として考えると$(c,x)$を$(c,\alpha_c(x))$に移すものであるため、任意の$(c,x)\in(y\downarrow A)$に対して$Fc$から$\bar{F}A'$への射を取ってくることができて (つまりこれは$\bar{F}A'$への余射影である)、これらは$F\circ p_A$からの余錐を構成する。余極限の普遍性から射$\bar{F}A\to\bar{F}A'$が得られ、これを$\bar{F}\alpha$とする。これによって$\bar{F}$は関手となる。

表現可能関手$y_c=\mathcal{C}(\_,c)$に対して、要素の圏$\mathop{\mathrm{el}}(y_c)$の対象は$c'\in\mathcal{C}$と$f\in\mathcal{C}(c',c)$の組$(c',f)$となり、射$\gamma\colon(c',f)\to(c'',f')$は$f'=f\circ\gamma$を満たす$\mathcal{C}$の射$\gamma\colon c''\to c'$によって構成される。従って任意の$(c',f)\in\mathop{\mathrm{el}}(y_c)$に対して、射$f\colon(c,\id_c)\to(c',f)$が存在して、この射は$(c,\id_c)$からの唯一の射となる。すなわち$(c,\id_c)$は$\mathop{\mathrm{el}}(y_c)$の始対象である。

このことを用いると、$\Colim(F\circ p_{y(c)})\simeq Fc$であることが従う。すなわち、$\bar{F}\circ y\simeq F$が成り立つ。

$\bar{F}$が余極限を保存することを示す。関手$R\colon\mathcal{B}\to\CSet^{\mathcal{C}^\op}$を$RB:=\mathcal{B}(F\_,B)$によって定める。このとき、
\begin{align} \mathcal{B}(\bar{F}A,B) &=\mathcal{B}(\Colim(F\circ p_A),B)\\ &\simeq\Lim_{(c,x)\in\mathop{\mathrm{el}}(A)} \mathcal{B}(F(c),B)\\ &\simeq\Lim_{(c,x)\in\mathop{\mathrm{el}}(A)}\CSet^{\mathcal{C}^\op}(y_c,\mathcal{B}(F\_,B))\\ &=\Lim_{(c,x)\in\mathop{\mathrm{el}}(A)}\CSet^{\mathcal{C}^\op}(y_c,RB)\\ &\simeq \CSet^{\mathcal{C}^\op}(\Colim_{\mathop{(c,x)\in\mathrm{el}}(A)}(y_c),RB)\\ &\simeq \CSet^{\mathcal{C}^\op}(A,RB) \end{align}
従って$\bar{F}$は$R$の左随伴であるため、余極限を保存する。

$(\Rightarrow)$ $L$が$R$の左随伴であるとき、$(c,d)\in\mathcal{C}^\op\times\mathcal{D}$に対して自然な全単射$\varphi\colon\mathcal{C}(c,Rd)\cong\mathcal{D}(Lc,d)$が存在するため、これが同型な関手$h$を構成する。また、これは明らかに$\bar{R}=\bar{L}\circ h$を満たす。

$(\Leftarrow)$ 図式を可換にする同型な関手$h\colon(\mathcal{C}\downarrow R)\to(L\downarrow\mathcal{D})$が存在するとき、ここから同型な写像$\varphi\colon\mathcal{C}(c,Rd)\xrightarrow{\sim}\mathcal{D}(Lc,d)$が得られる。$h$の関手性から次の図式がそれぞれ可換になるため、$\varphi$は$c,d$について自然となる:
\begin{xy} \xymatrix@R=1em{ c \ar[r]^-{u} \ar[dd]_-{f} & Rd \ar[dd]^-{Rg} & & Lc \ar[r]^-{hu} \ar[dd]_-{Lf} & d \ar[dd]^-{g}\\ & {} \ar@{}[rr]|(.25){}="a"|(.75){}="b" \ar@{|->}"a";"b"^-{\sim} & & {} \\ c' \ar[r]^-{u'} & Rd' & & Lc' \ar[r]^-{hu'} & d' } \end{xy}

$(d,c,f\colon d\to Fc)\in(\mathcal{D}\downarrow F)$と$\mathcal{D}$の射$g\colon d'\to d$に対して、$(\mathcal{D}\downarrow F)$の射$(g,\id)\colon(d',c,f\circ g)\to(d,c,f)$が取れるので、この射がカルテシアンであることを言えばよい。

ここでコンマ圏のhom集合$(\mathcal{D}\downarrow F)((d'',c'',f''),(d',c,f\circ g))$は$(f\circ g)\circ h=Fq\circ f''$を満たす$h\in\mathcal{D}(d'',d')$と$q\in\mathcal{C}(c'',c)$から決定されるため、このことから$(g,\id)$がカルテシアンであることが従う。

ファイバーは$(\mathcal{D}\downarrow F)\to\mathcal{D}$に対して$\CUni\to\mathcal{D}$による引き戻しで得られる圏のこと (StrNote 定義2.1を参照) なので、これは$(d\downarrow F)$のことである。

$\lim^WT\cong\CCat^{\mathcal{J}}(W,T)$なので右辺の圏について調べればよい。自然変換$\tau\colon W\Rightarrow T$は$c\in\mathcal{C}$, $d\in\mathcal{D}$, $\mathcal{E}$の射$f\colon Fc\to Gd$の組で決定される。また、$\tau,\tau'\colon W\Rightarrow T$の間のmodification $\mu\colon\tau\Rrightarrow\tau'$は$\mathcal{C}$の射$\mu_0\colon c\to c'$, $\mathcal{D}$の射$\mu_1\colon d\to d'$と可換図式$G\mu_1\circ f=f'\circ F\mu_0$ (下図) で構成される。
\begin{xy} \xymatrix{ Fc \ar[r]^-{f} \ar[d]_-{F\mu_0} & Gd \ar[d]^-{G\mu_1} \\ Fc' \ar[r]^-{f'} & Gd' } \end{xy}
以上より、$\CCat^\mathcal{J}(W,T)$ (すなわち2-極限$\lim^WT$) はコンマ圏$(F\downarrow G)$のことである。

コンマ圏の普遍性から従う。

コンマ圏の普遍性によって、自然変換$\tau\colon d\Rightarrow F$ごとに、次の図式を可換にして$\tau=\phi T$となる関手$T\colon\mathcal{C}\to(d\downarrow F)$が存在する。一意性によって主張する集合同型が成り立つ。
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal{C} \ar@{=}@/_1.5em/[rdd] \ar@/^1.5em/[rrd] \ar@{-->}[rd] \\ & (d\downarrow F) \ar[r] \ar[d] & \CUni \ar[d]^-{d} \\ & \mathcal{C} \ar[r]_-{F} \ar@{}[ru]|(.3){}="a"|(.7){}="b" \ar@{=>}"b";"a"^-{\phi} & \mathcal{D} } \end{xy}

自然変換$\tau\colon d\Rightarrow F\circ K$を固定するごとに、次の図式を可換にして$\tau=\phi T$となる関手$T\colon\mathcal{X}\to(d\downarrow F)$が一意に定まる。
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal{X} \ar@{-->}[r] \ar[rd]_-{K} & (d\downarrow F) \ar[d]^-{P} \ar[r] & \CUni \ar[d]^-{d} \\ & \mathcal{C} \ar[r]_-{F} \ar@{}[ru]|(.3){}="a"|(.7){}="b" \ar@{=>}"b";"a"^-{\phi} & \mathcal{D} } \end{xy}
他方、$K=P\circ T$を満たす関手$T\colon\mathcal{X}\to(d\downarrow F)$に対して自然変換$\phi T\colon d\Rightarrow F\circ K$が対応する。前者の一意性からこれらの対応は全単射となる。

関手$P_G\colon(d\downarrow G)\to\mathcal{B}$はコンマ圏からの射影とする。このとき、前命題から$[(c\downarrow F),\mathcal{D}](d,G\circ P_F)\simeq\CCat/\mathcal{B}(P_F,P_G)$が成り立つ。
一方、自然変換$\tau\colon\mathcal{C}(c,F\_)\Rightarrow\mathcal{D}(d,G\_)$のコンポーネントは$b\in\mathcal{B}$ごとに$(c\downarrow F)\to(d\downarrow G)$の関手の対応を定め、また逆の関係も成り立つため、以下の集合同型が成り立つ。
$$\CCat/\mathcal{B}(P_F,P_G)\simeq[\mathcal{B},\CSet](\mathcal{C}(c,F\_),\mathcal{D}(d,G\_))$$
以上より、主張が成り立つ。

全ての$R_e\colon(e\downarrow E)\to\mathcal{C}\xrightarrow{F}\mathcal{D}$に極限が存在するとき、$Ke:=\Lim R_e$と置く。$\mathcal{E}$の射$f\colon e\to e'$と$(c,g\colon e'\to Ec)\in(e'\downarrow E)$に対して、$R_{e}$の極限からの射影$Ke\to Fc=R_e(c,g\circ f)$が取れるため、これを用いて$R_{e'}$への錐が構成できる。従って普遍性から射$Kf\colon Ke\to Ke'$を得て、これによって$K$は関手となる。各$Ke$を極限によって構成したため、これによって自然変換$\eta\colon K\circ E\Rightarrow F$を得る (各$c\in\mathcal{C}$ごとに$R_{Ec}(c,\id_{Ec})$への射影を$\eta_c$とする)。
関手$K'\colon\mathcal{E}\to\mathcal{D}$と自然変換$\tau\colon K'\circ E\Rightarrow F$に対して、$e\in\mathcal{E}$と$(c,g\colon e\to Ec)\in(e\downarrow E)$ごとに$\tau_c\circ K'g\colon K'e\to Fc$が取れる。これによって$R_e$への錐が構成されるため、普遍性から$\bar{\tau}_e\colon K'e\to Ke$をただ1つ得て、これは自然変換$\bar\tau\colon K'\Rightarrow K$を構成する。構成から$\tau=\eta\circ E\bar\tau$であり、従って$K$は右Kan拡張$E^\ddagger F$である。

関手$\mathcal{D}(d,\_)$は極限を保存するため、$F$の$E$に沿った各点右Kan拡張が存在するならば$\mathcal{D}(d,\_)$は右Kan拡張も保存する。

右Kan拡張$E^\ddagger F$が存在して任意の$\mathcal{D}(d,\_)$が右Kan拡張を保存するとき、任意の$G\colon\mathcal{E}\to\CSet$に対して
$$\CSet^{\mathcal{E}}(G,\mathcal{D}(d,E^\ddagger F\_))\simeq\CSet^{\mathcal{E}}(G,E^\ddagger\mathcal{D}(d,F\_))\simeq\CSet^{\mathcal{C}}(G\circ E,\mathcal{D}(d,F\_))$$
が成り立つ。そこで$G=\mathcal{E}(e,\_)$の場合について考えると、左辺に米田の補題を適用することで次の集合同型を得る:
$$\mathcal{D}(d,E^\ddagger Fe)\simeq\CSet^{\mathcal{C}}(\mathcal{E}(e,E\_),\mathcal{D}(d,F\_))$$

一方、命題11の系より、次の集合同型を得る。
$$[(e\downarrow E),\mathcal{D}](d,R_e)\simeq\CSet^{\mathcal{C}}(\mathcal{E}(e,E\_),\mathcal{D}(d,F\_))$$

この同型は、$E^\ddagger Fe\in\mathcal{D}$が$L_e$の極限であることを示しているため、$E^\ddagger F$は各点右Kan拡張である。