コンマ圏なんもわからん

圏の引き戻しの構成を考えることで、コンマ圏$(F\downarrow \mathcal{C})$が$\mathcal{A}\stackrel{F}{\to }\mathcal{C}\stackrel{D_0}{\leftarrow }{\mathcal{C}}^{\mathbf{2}}$の引き戻しに、$(\mathcal{C}\downarrow G)$が${\mathcal{C}}^{\mathbf{2}}\stackrel{D_1}{\to }\mathcal{C}\stackrel{G}{\leftarrow }\mathcal{B}$の引き戻しになっていることがわかる。
さらに$(F\downarrow \mathcal{C})\to {\mathcal{C}}^{\mathbf{2}}\leftarrow (\mathcal{C}\downarrow G)$の引き戻しは、写される先の対象が等しいならばそれは$f:Fa\to Gb$の形であることが成り立つため、コンマ圏$(F\downarrow G)$を構成することがわかる。

$u:c\to Fd$が$c$から$F$への普遍射であるとは、任意の$f:c\to Fx$に対して$\mathcal{D}$の射$\overline{f}:d\to x$がただ1つ存在して、$f=F\overline{f}\circ u$を満たすことである。これをコンマ圏$(c\downarrow F)$の言葉で置き換えると、任意の$(x,f)\in (c\downarrow F)$に対して射$\overline{f}:(d,u)\to (x,f)$が存在することであり、これは$(x,f)$が$(c\downarrow F)$の始対象であることと同値である。

米田の補題から${\mathbf{Set}}^{\mathcal{C}}(\mathcal{C}(c,\mathrm{\_}),F)\simeq Fc$であるため、$F$の要素の圏の対象とコンマ圏$(y\downarrow F)$の対象の間には全単射が存在する。またこの関係は$c$についても自然なので、これによって関手$\phi :y\downarrow F\to \mathrm{el}(F)$と$\psi :\mathrm{el}(F)\to y\downarrow F$が定まり、米田の補題が自然同型を示すことから、$\phi$と$\psi$は互いの逆関手となる。

$F$の要素の圏はコンマ圏$(y\downarrow F)$と同型であるため、これを用いて関手$\check{F}:\mathrm{el}(F)\cong (y\downarrow F)\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\stackrel{y}{\to }{\mathbf{Set}}^{\mathcal{C}}$を取ると、これは表現可能関手からなる図式を構成する。
この関手の余極限が$F$であることを示す。各$(c,x)\in \mathrm{el}(F)$に対して、$\check{F}$はこれを$\mathcal{C}(c,\mathrm{\_})\in {\mathbf{Set}}^{\mathcal{C}}$に送る。また米田の補題から、${\tau }_c^x({\mathrm{id}}_c)=x$を満たす自然変換${\tau }^x:\mathcal{C}(c,\mathrm{\_})\Rightarrow F$が存在する。これによって$F$への余錐が構成される。

$\check{F}$から$G$への余錐を$({\upsilon }^x:\mathcal{C}(c,\mathrm{\_})\Rightarrow G{)}_{(c,x)\in \mathrm{el}(F)}$と表す。このとき、$c\in \mathcal{C}$に対して$x\mapsto {\upsilon }_c^x({\mathrm{id}}_c)$によって写像${\gamma }_c:Fc\to Gc$が定まり、さらにこれは$c$について自然である。

$(c,x)\in (y\downarrow F)$と$f:c\to c^{\prime }$に対して、
$$\begin{array}{rl}{\gamma }_{c^{\prime }}\circ {\tau }_{c^{\prime }}^x(f)& ={\gamma }_{c^{\prime }}(Ff(x))\\ & =Gf({\gamma }_c(x))\\ & =Gf({\upsilon }_c^x({\mathrm{id}}_c))\\ & ={\upsilon }_{c^{\prime }}^x(f)\end{array}$$
が成り立つため、$\gamma \circ {\tau }^x={\upsilon }^x$が成り立ち、$\gamma$の決定方法からこれは一意であることがわかる。以上より$F$は$\check{F}$の余極限である。

余完備な圏への関手$F:\mathcal{C}\to \mathcal{B}$と集合値関手$A:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$に対して、$\overline{F}A\in \mathcal{B}$を
$$\overline{F}A:=\mathrm{Colim}((y\downarrow A)\stackrel{p_A}{\to }\mathcal{C}\stackrel{F}{\to }\mathcal{B})$$によって定める。自然変換$\alpha :A\Rightarrow A^{\prime }$はコンマ圏の間の関手$(y\downarrow \alpha ):(y\downarrow A)\to (y\downarrow A^{\prime })$を定めるが、これは要素の圏として考えると$(c,x)$を$(c,{\alpha }_c(x))$に移すものであるため、任意の$(c,x)\in (y\downarrow A)$に対して$Fc$から$\overline{F}{A}^{\prime }$への射を取ってくることができて (つまりこれは$\overline{F}{A}^{\prime }$への余射影である)、これらは$F\circ p_A$からの余錐を構成する。余極限の普遍性から射$\overline{F}A\to \overline{F}{A}^{\prime }$が得られ、これを$\overline{F}\alpha$とする。これによって$\overline{F}$は関手となる。

表現可能関手$y_c=\mathcal{C}(\mathrm{\_},c)$に対して、要素の圏$\mathrm{el}(y_c)$の対象は$c^{\prime }\in \mathcal{C}$と$f\in \mathcal{C}(c^{\prime },c)$の組$(c^{\prime },f)$となり、射$\gamma :(c^{\prime },f)\to (c^{″},f^{\prime })$は$f^{\prime }=f\circ \gamma$を満たす$\mathcal{C}$の射$\gamma :c^{″}\to c^{\prime }$によって構成される。従って任意の$(c^{\prime },f)\in \mathrm{el}(y_c)$に対して、射$f:(c,{\mathrm{id}}_c)\to (c^{\prime },f)$が存在して、この射は$(c,{\mathrm{id}}_c)$からの唯一の射となる。すなわち$(c,{\mathrm{id}}_c)$は$\mathrm{el}(y_c)$の始対象である。

このことを用いると、$\mathrm{Colim}(F\circ p_{y(c)})\simeq Fc$であることが従う。すなわち、$\overline{F}\circ y\simeq F$が成り立つ。

$\overline{F}$が余極限を保存することを示す。関手$R:\mathcal{B}\to {\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}$を$RB:=\mathcal{B}(F\mathrm{\_},B)$によって定める。このとき、
$$\begin{array}{rl}\mathcal{B}(\overline{F}A,B)& =\mathcal{B}(\mathrm{Colim}(F\circ p_A),B)\\ & \simeq \underset{(c,x)\in \mathrm{el}(A)}{\mathrm{Lim}}\mathcal{B}(F(c),B)\\ & \simeq \underset{(c,x)\in \mathrm{el}(A)}{\mathrm{Lim}}{\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(y_c,\mathcal{B}(F\mathrm{\_},B))\\ & =\underset{(c,x)\in \mathrm{el}(A)}{\mathrm{Lim}}{\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(y_c,RB)\\ & \simeq {\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(\underset{(c,x)\in \mathrm{el}(A)}{\mathrm{Colim}}(y_c),RB)\\ & \simeq {\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(A,RB)\end{array}$$
従って$\overline{F}$は$R$の左随伴であるため、余極限を保存する。

$(\Rightarrow )$ $L$が$R$の左随伴であるとき、$(c,d)\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D}$に対して自然な全単射$\phi :\mathcal{C}(c,Rd)\cong \mathcal{D}(Lc,d)$が存在するため、これが同型な関手$h$を構成する。また、これは明らかに$\overline{R}=\overline{L}\circ h$を満たす。

$(\Leftarrow )$ 図式を可換にする同型な関手$h:(\mathcal{C}\downarrow R)\to (L\downarrow \mathcal{D})$が存在するとき、ここから同型な写像$\phi :\mathcal{C}(c,Rd)\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{D}(Lc,d)$が得られる。$h$の関手性から次の図式がそれぞれ可換になるため、$\phi$は$c,d$について自然となる:
$$cufRdRgLchuLfdg\sim c^{\prime }{u}^{\prime }R{d}^{\prime }L{c}^{\prime }h{u}^{\prime }{d}^{\prime }$$

$(d,c,f:d\to Fc)\in (\mathcal{D}\downarrow F)$と$\mathcal{D}$の射$g:d^{\prime }\to d$に対して、$(\mathcal{D}\downarrow F)$の射$(g,\mathrm{id}):(d^{\prime },c,f\circ g)\to (d,c,f)$が取れるので、この射がカルテシアンであることを言えばよい。

ここでコンマ圏のhom集合$(\mathcal{D}\downarrow F)((d^{″},c^{″},f^{″}),(d^{\prime },c,f\circ g))$は$(f\circ g)\circ h=Fq\circ f^{″}$を満たす$h\in \mathcal{D}(d^{″},d^{\prime })$と$q\in \mathcal{C}(c^{″},c)$から決定されるため、このことから$(g,\mathrm{id})$がカルテシアンであることが従う。

ファイバーは$(\mathcal{D}\downarrow F)\to \mathcal{D}$に対して$\mathbf{1}\to \mathcal{D}$による引き戻しで得られる圏のこと (StrNote 定義2.1を参照) なので、これは$(d\downarrow F)$のことである。

$\stackrel{W}{lim}T\cong {\mathbf{Cat}}^{\mathcal{J}}(W,T)$なので右辺の圏について調べればよい。自然変換$\tau :W\Rightarrow T$は$c\in \mathcal{C}$, $d\in \mathcal{D}$, $\mathcal{E}$の射$f:Fc\to Gd$の組で決定される。また、$\tau ,{\tau }^{\prime }:W\Rightarrow T$の間のmodification $\mu :\tau \Rrightarrow {\tau }^{\prime }$は$\mathcal{C}$の射${\mu }_0:c\to c^{\prime }$, $\mathcal{D}$の射${\mu }_1:d\to d^{\prime }$と可換図式$G{\mu }_1\circ f=f^{\prime }\circ F{\mu }_0$ (下図) で構成される。
$$FcfF{\mu }_{0}GdG{\mu }_{1}F{c}^{\prime }{f}^{\prime }G{d}^{\prime }$$
以上より、${\mathbf{Cat}}^{\mathcal{J}}(W,T)$ (すなわち2-極限$\stackrel{W}{lim}T$) はコンマ圏$(F\downarrow G)$のことである。

コンマ圏の普遍性から従う。

コンマ圏の普遍性によって、自然変換$\tau :d\Rightarrow F$ごとに、次の図式を可換にして$\tau =\varphi T$となる関手$T:\mathcal{C}\to (d\downarrow F)$が存在する。一意性によって主張する集合同型が成り立つ。
$$\mathcal{C}(d\downarrow F)\mathbf{1}d\mathcal{C}F\varphi \mathcal{D}$$

自然変換$\tau :d\Rightarrow F\circ K$を固定するごとに、次の図式を可換にして$\tau =\varphi T$となる関手$T:\mathcal{X}\to (d\downarrow F)$が一意に定まる。
$$\mathcal{X}K(d\downarrow F)P\mathbf{1}d\mathcal{C}F\varphi \mathcal{D}$$
他方、$K=P\circ T$を満たす関手$T:\mathcal{X}\to (d\downarrow F)$に対して自然変換$\varphi T:d\Rightarrow F\circ K$が対応する。前者の一意性からこれらの対応は全単射となる。

関手$P_G:(d\downarrow G)\to \mathcal{B}$はコンマ圏からの射影とする。このとき、前命題から$[(c\downarrow F),\mathcal{D}](d,G\circ P_F)\simeq \mathbf{Cat}/\mathcal{B}(P_F,P_G)$が成り立つ。
一方、自然変換$\tau :\mathcal{C}(c,F\mathrm{\_})\Rightarrow \mathcal{D}(d,G\mathrm{\_})$のコンポーネントは$b\in \mathcal{B}$ごとに$(c\downarrow F)\to (d\downarrow G)$の関手の対応を定め、また逆の関係も成り立つため、以下の集合同型が成り立つ。
$$\mathbf{Cat}/\mathcal{B}(P_F,P_G)\simeq [\mathcal{B},\mathbf{Set}](\mathcal{C}(c,F\mathrm{\_}),\mathcal{D}(d,G\mathrm{\_}))$$
以上より、主張が成り立つ。

全ての$R_e:(e\downarrow E)\to \mathcal{C}\stackrel{F}{\to }\mathcal{D}$に極限が存在するとき、$Ke:=\mathrm{Lim}{R}_e$と置く。$\mathcal{E}$の射$f:e\to e^{\prime }$と$(c,g:e^{\prime }\to Ec)\in (e^{\prime }\downarrow E)$に対して、$R_e$の極限からの射影$Ke\to Fc=R_e(c,g\circ f)$が取れるため、これを用いて$R_{e^{\prime }}$への錐が構成できる。従って普遍性から射$Kf:Ke\to K{e}^{\prime }$を得て、これによって$K$は関手となる。各$Ke$を極限によって構成したため、これによって自然変換$\eta :K\circ E\Rightarrow F$を得る (各$c\in \mathcal{C}$ごとに$R_{Ec}(c,{\mathrm{id}}_{Ec})$への射影を${\eta }_c$とする)。
関手$K^{\prime }:\mathcal{E}\to \mathcal{D}$と自然変換$\tau :K^{\prime }\circ E\Rightarrow F$に対して、$e\in \mathcal{E}$と$(c,g:e\to Ec)\in (e\downarrow E)$ごとに${\tau }_c\circ K^{\prime }g:K^{\prime }e\to Fc$が取れる。これによって$R_e$への錐が構成されるため、普遍性から${\overline{\tau }}_e:K^{\prime }e\to Ke$をただ1つ得て、これは自然変換$\overline{\tau }:K^{\prime }\Rightarrow K$を構成する。構成から$\tau =\eta \circ E\overline{\tau }$であり、従って$K$は右Kan拡張$E^{‡}F$である。