正四面体の性質

はじめに

長さ、体積など基本的な正四面体の量を簡単にまとめてみた。
そのうち、証明や図を追加するかも。

設定

立方体の上面にある正方形の頂点の一つを$\mathrm{A}$とする。
頂点$\mathrm{A}$から反時計回りに、正方形の他の頂点を$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$とする。
立方体の外心を点$\mathrm{O}$とする。
点$\mathrm{O}$に関して点$\mathrm{A}$と対称の位置にある頂点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする。
同様に頂点${\mathrm{B}}^{\prime }$,${\mathrm{C}}^{\prime }$,${\mathrm{D}}^{\prime }$を定める。
このとき四面体$\mathrm{AC}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$は正四面体となる。

四面体$\mathrm{AC}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$において、頂点$\mathrm{A}$から面$\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$に垂らした垂線の足を点$\mathrm{H}$とする。
さらに、正方形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の重心を点$\mathrm{X}$とする。

また、以下のように文字を定める。

$l$：立方体の一辺の長さ
$a$：正四面体の一辺の長さ
$R$：正四面体の外接円の半径
$r$：正四面体の内接円の半径
$h$：正四面体の高さ
$e$：${\mathrm{HA}}^{\prime }$の長さ
$\theta$：正四面体の中心角。$\mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$
$\alpha$：正四面体の2つの面がなす角。$\mathrm{\angle }\mathrm{AXC}$
$h_{\mathrm{△}}$：正四面体の底面（正三角形）の高さ
$S_{\mathrm{△}}$：正四面体の底面（正三角形）の面積
$R_{\mathrm{△}}$：正四面体の底面（正三角形）の外接円の半径
$r_{\mathrm{△}}$：正四面体の底面（正三角形）の内接円の半径
$V_{\mathrm{C}}$：立方体の体積
$V_{\mathrm{T}}$：正四面体の体積
$V_{\mathrm{P}}$：頂点四面体（四面体${\mathrm{ABCD}}^{\prime }$）の体積

断面図

計量

$$a=\sqrt{2}l$$
$$l=\frac{\sqrt{2}}{2}a$$

$$V_{\mathrm{C}}=l^3=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$$
$$V_{\mathrm{P}}=\frac{l^3}{6}=\frac{\sqrt{2}}{24}{a}^3$$
$$V_{\mathrm{T}}=\frac{1}{3}{l}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$$

$$r=\frac{\sqrt{3}}{6}l=\frac{\sqrt{6}}{12}a$$
$$e=\frac{\sqrt{3}}{3}l=\frac{\sqrt{6}}{6}a$$
$$R=\frac{\sqrt{3}}{2}l=\frac{\sqrt{6}}{4}a$$
$$h=\frac{2\sqrt{3}}{3}l=\frac{\sqrt{6}}{3}a$$
$$R+r=h$$

この$\theta$ をマラルディの角度というらしい。

$$h_{\mathrm{△}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{2}l$$
$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}a{h}_{\mathrm{△}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}{l}^3$$
$$R_{\mathrm{△}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}R=\frac{\sqrt{6}}{3}l=\frac{\sqrt{3}}{3}a$$
$$R_{\mathrm{△}}+r_{\mathrm{△}}=h_{\mathrm{△}}$$

おわりに

正四面体の重要な長さ（比）や角度は、A4（$1:\sqrt{2}$）の紙を使えば大体再現できる
という気付きを得た。
今まで白銀比にはあまり面白味を感じてなかったけど、触ってみたら結構面白かった印象。