巷で話題の早稲田理工数学2024の2番をFPSの観点から見る

作問ミスがあったと話題の2024早稲田理工数学ですが,2番について、FPSで考えてみたら一般の$n$に対する表示が得られましたので書いてみます.

例えば$n=2$なら,$(1,2),(2,1),(4,2),(2,4)$の$4$つで,$a_2=4$です.原題では漸化式に関する誘導が何問かあって,$(4)$で$a_{6m+1}(m=1,2,\cdots)$を求めよ,という問題でした.これをFPSで考えてみます.$1,2,4$はそれぞれ$\bmod3$で$1,2,1$に等しいですから,今我々が求めたいのは,$(2x+x^2)^n$の$x^{3k}(k=1,2,\cdots)$の係数和となります.ですから,$f(x)=(2x+x^2)^n$として,$\frac{f(1)+f(w)+f(w^2)}{3}$($w$は$1$の$3$乗根)を求めればよいです.なぜこれで$3k$乗の関する係数和が求まるかというと,多項式$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots \,a_1x+a_0$に対して
$${P(1)+P(w)+P(w^2)=\sum_{i=0}^na_i(1^i+w^i+w^{2i})^n }$$

であり,$i\not\equiv0(\bmod3)$のとき,
$${1^i+w^i+w^{2i}=0} $$
$i\equiv0(\bmod3)$のとき,
$${1^i+w^i+w^{2i}=3} $$
であることがわかります.ですから,$ i\equiv0(\bmod3)$のときのみ,係数$a_i$が残って$3$で割るとうまく行きます.
よって,$w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$として,
$\dfrac{f(1)+f(w)+f(w^2)}{3}=\dfrac{3^n+(2w+w^2)^n+(w^2+w^4)^n}{3}$
$=\dfrac{1}{3}(3^n+(\frac{-3+\sqrt{3}i}{2})^n+(\frac{-3-\sqrt{3}i}{2})^n)$
$=3^{n-1}+\dfrac{3^{\frac{n}{2}}}{3}((\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})^n+(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})^n)$
$=3^{n-1}+3^{\frac{n-2}{2}}((\cos\frac{7n\pi}{6}+i\sin\frac{7n\pi}{6})+(\cos\frac{5n\pi}{6}+i\sin\frac{5n\pi}{6}))$
$=3^{n-1}+2\,\cdot3^{\frac{n-2}{2}}\cos\frac{5n\pi}{6}$
となります.途中でド・モアブルの定理と,最後の式変形では,$\dfrac{5n\pi+7n\pi}{6}=2n\pi$ゆえ,虚部が打ち消されて,実部の$2$倍になることを用いました.という訳で,結局,
$${a_n=3^{n-1}+2\,\cdot3^{\frac{n-2}{2}}\cos\frac{5n\pi}{6}}$$
が言えました.結構綺麗ですよね.面白い.今年の試験,$3$番みたいな作問ミスもあればこの問題みたいに綺麗なものもあったりと,よく分からない試験ですね…