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AndrewsによるHeineの変換公式の類似2

前の記事において, 以下の2つの結果を示した.

Andrews(1966)

正整数 $h$ に対して
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} \frac{(b; q)_{h n}}{(c; q)_{h n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{h})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{h})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{n} (t; q^{h})_{n}}{(q; q)_{n} (a t; q^{h})_{n}} b^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

Andrews(1966)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (b; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (c; q)_{n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n} (t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n} (a t; q^{2})_{n}} b^{2 n} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (a t q; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n + 1} (t q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1} (a t q; q^{2})_{n}} b^{2 n + 1} \end{aligned}$

定理1の $h = 2$ の場合は, Ramanujanによって得られており, その特別な場合として様々な系が得られている. 以下の系はRamanujan's Lost Notebook Part IIにまとめられているものである.

定理1

$\begin{aligned} (q, a q; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q, - b q; q)_{n}}{(a q; q^{2})_{n + 1}} q^{n} & = (- b q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(q, a q; q^{2})_{n}}{(- b q; q)_{2 n + 1}} q^{2 n} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, b = q, t = q^{2}$ として $a \mapsto a q, c \mapsto - b q^{2}$ とすればよい.

定理1

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{a^{n} q^{n}}{(q; q)_{n} (b q; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(a q; q)_{\infty} (b q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a q; q)_{2 n} b^{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, c = 0, a \mapsto b q / t, b \mapsto a q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b q / t; q^{2})_{n} (a q; q)_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} & = \frac{(a q; q)_{\infty} (b q; q^{2})_{\infty}}{(t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n} (b q; q^{2})_{n}} (a q)^{n} \end{aligned}$
ここで, $t \to 0$ として定理を得る.

定理1

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{a^{n} q^{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (b q; q)_{2 n}} & = \frac{1}{(a q^{2}; q^{2})_{\infty} (b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a q^{2}; q^{2})_{n} b^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n}} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, a = 0, b \to 0$ としてから, $t \mapsto a q^{2}, c \mapsto b q$ とすればよい.

定理1

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- q, - a q; q)_{n} q^{n} & = (- q, - a q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q^{2})_{n} q^{2 n}}{(- a q; q)_{2 n + 1}} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, a = 0, b = q, c = - a q^{2}, t = q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \frac{(q; q)_{2 n}}{(- a q^{2}; q)_{2 n}} q^{2 n} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(- a q^{2}; q)_{\infty} (q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- a q; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
となる. これを書き換えればよい.

$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{2 n} q^{2 n^{2}}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} \\ - a \sum_{0 < n} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{n - 1} (- q)^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(- q; - q)_{n - 1}} \end{aligned}$

定理2において, $t = - q / a$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (b; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (c; q)_{n}} (- q / a)^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (- q; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (- q / a; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n} (- q / a; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n} (- q; q^{2})_{n}} b^{2 n} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (- q^{2} / a; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n + 1} (- q^{2} / a; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{2}; q^{2})_{n}} b^{2 n + 1} \end{aligned}$
となる. $a \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (c; q)_{n}} & = \frac{(b; q)_{\infty} (- q; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q; q^{2})_{n}} b^{2 n} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{2}; q^{2})_{n}} b^{2 n + 1} \end{aligned}$
を得る. $c = 0, b = a q$ として $\frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}}$ を両辺に掛けると,
$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q; q^{2})_{n}} \\ + \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, 定理1において, $h = 2, q \mapsto q^{2}, a = q^{2} / t, b = a^{2} q^{2}, c = 0$ としてから $t \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q; q^{2})_{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{2 n} q^{2 n^{2}}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} \end{aligned}$
を得る. また, 定理1において, $h = 2, a = 0, c = - q^{2}, b \to 0$ としてから $t = a^{2} q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{1}{(- q; q)_{\infty} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 3)}}{(q; q)_{n}} \end{aligned}$
を得る. ここで, 両辺に $a q (- q; q)_{\infty} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}$ を掛けると, $(- q; q)_{\infty} = \frac{1}{(q; q^{2})_{\infty}}$ であることに注意すると, $q \mapsto - q$ として,
$\begin{aligned} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{2}; q^{2})_{n}} & = - a \sum_{0 < n} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{n - 1} (- q)^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(- q; - q)_{n - 1}} \end{aligned}$
であるから, これらを
$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q; q^{2})_{n}} \\ + \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
に代入すればよい.

$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n (n + 1)}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{n} (- q)^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(- q; - q)_{n}} \\ + a \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{2 n} q^{2 n^{2} + 4 n + 1}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} \end{aligned}$

定理2において, $t = - q^{2} / a, c = 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (b; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} (- q^{2} / a)^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2} / a; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q^{2} / a; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n} (- q^{2}; q^{2})_{n}} b^{2 n} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (- q^{3}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{3} / a; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q^{3} / a; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q^{3}; q^{2})_{n}} b^{2 n + 1} \end{aligned}$
$a \to \infty$ としてから, $b = a q$ として, 両辺に $\frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}}$ を掛けると,
$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n (n + 1)}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q^{2}; q^{2})_{n}} \\ + \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q; q^{2})_{n + 1}} \end{aligned}$
ここで, 定理1において, $h = 2, a = 0, c = - q, t = a^{2} q^{2}, b \to 0$ としてから, $q \mapsto - q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{n} (- q)^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(- q; - q)_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
であり, 定理1において, $a \to \infty$ としてから, $h = 2, q \mapsto q^{2}, b = a^{2} q^{2}, t = q^{6} / a, c = 0$ とした式を整理すると,
$\begin{aligned} a \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a^{2} q^{2}; q^{2})_{2 n} q^{2 n^{2} + 4 n + 1}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q; q^{2})_{n + 1}} \end{aligned}$
となるから, これらを
$\begin{aligned} \frac{(- a q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} q^{n (n + 1)}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- q^{2}; q^{2})_{n}} \\ + \frac{(a^{2} q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- q; q^{2})_{n + 1}} \end{aligned}$
に代入すればよい.

定理2

$\begin{aligned} \frac{1}{(a q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q; q)_{n} b^{n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = (- b q; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n}}{(q; q)_{2 n} (- b q; q^{2})_{n}} \\ + (- b q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q)^{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1} (- b q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$