クラウゼンの公式

$lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} f (x + k h)}{h^{n}} = f^{(n)} (x)$
を使って面白い公式を導きましょう.
(この公式自体は帰納法で証明できます.厳密には平均値の定理を使います.)

$f (x) = x^{n}$ を上の式にぶち込んでやります.右辺は $n!$ になります.左辺を愚直に計算すると $h^{n}$ の項だけが残るはずで,その項は $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} k^{n}$ となります.
この二つを等号で結べば次の定理が得られます.

クラウゼンの公式

$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} k^{n} = n!$

また $h^{n}$ の項以外は $0$ になることうけあいなので

クラウゼンの第二公式

$0 \leq s < n$ なる自然数 $n$ に対して $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} k^{s} = 0$

が成り立ちます.

定理1の具体例としては $5! = 5^{5} - 5 \cdot 4^{5} + 10 \cdot 3^{5} - 10 \cdot 2^{5} + 5 \cdot 1^{5} = 120$ などとなります.

また最初の公式は $f (x + k h)$ をずらして $f (x + (k + 1) h)$ などにしても成立するので

クラウゼンの第三公式

$a$ を任意の整数とする.このとき $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} (k + a)^{n} = n!$ が成り立つ.

なども言えます. $a = 1$ のときがオリジナルのクラウゼンの公式となります.

ここから少し式変形をすると次の定理が得られます.

クラウゼンの第四公式

$a, b$ を任意の整数とする.このとき $n \geq 3$ に対して $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{n - k} (a + k) (b + k) = 0$

具体例としては $6 \cdot 5 - 4 \cdot (5 \cdot 4) + 6 \cdot (4 \cdot 3) - 4 \cdot (3 \cdot 2) + 2 \cdot 1 = 0$ などが言えます.

これらの式は結局恒等式なので,これを応用して何らかの結果を得ることはできません.

最後までご視聴ありがとうございました.

投稿日：2024年8月17日

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