算数オリンピックのファイナル問題に挑戦
今回は算数オリンピックのファイナル問題に挑戦します。
自力の解法で解けたので、それを紹介。
それでは、参りましょう。
(以下の問題は、「算数オリンピックに挑戦 2004-2007年度版―スポーツ算数の祭典に参加しよう (ブルーバックス 1586)」から抜粋。図は自作しました。)
図１のX°を求めなさい。
これより下は解説になるので、自分で挑戦してみたい方はスクロール注意。
まず、図2のようにそれぞれの頂点を頂点Ａ、頂点Ｂ、頂点Ｃ、頂点Ｄとします。
次に、辺ＡＤを頂点Ａから頂点Ｄの方向へ、辺ＢＤを頂点Ｂから頂点Ｄの方向へそれぞれ伸ばすよう補助線(赤線)を引きます。
また、辺ＢＤの延長線と辺ＡＣの交点をＥ、辺ＡＤの延長線と辺ＢＣの交点をＦとし、ＥとＦを結んで辺ＥＦとなるよう補助線を引きます(図3)。
∠ADB＝180°－(20°＋80°)
＝180°－100°
＝80°
であり、
∠BAD＝80°、∠ABD＝20°
なので、⊿ABDは底角が80°の辺ABと辺BDを等辺とした二等辺三角形であることが分かります。そのため、
辺AB＝辺BD
です。
また、辺AFは辺ADの延長線なので、
∠BDF＝180°－∠ADB
＝180°－80°
＝100°
です。
∠BFD＝180°－(∠DBF＋∠BDF)
＝180°－(20°＋100°)
＝180°－120°
＝60°
であり、また、
∠AEB＝180°－(∠ABE＋∠BAE)
＝180°－(20°＋{80°＋20°})
＝180°－(20°＋100°)
＝180°－120°
＝60°
です。
⊿ABEと⊿BDFは、
∠ABE＝∠DBF
∠BAE＝∠BDF
∠AEB＝∠DFB
であり、対応する角の大きさが等しいです。
また、辺AB＝辺BDであることから、⊿ABEと⊿BDFは合同な三角形であることが分かります。
∠BAEを挟む辺である辺ABと辺AEのうち、辺ABは辺BDに対応するため、辺AEは⊿BDFの∠BDFを挟む辺である辺BDと辺DFのうち、辺DFに対応することになります。そのため、残りの辺BEは辺BFに対応することになり、
辺AE＝辺DF
辺BE＝辺BF
という関係であることが分かります。
⊿BEFは、辺BE＝辺BFであり、∠EBF＝20°です。
∠EBFは二等辺三角形BEFの頂角に当たり、よってその底角に当たる∠BEFと∠BFEの関係は
∠BEF＝∠BFE
となり、底角の大きさは
∠BEF＝∠BFE
＝(180°－20°)÷2
＝160°÷2
＝80°
であることが分かります。
∠DFE＝∠BFE－∠BFD
＝80°－60°
＝20°
であり、
∠DEF＝∠BEF＝80°
なので、
∠EDF＝180°－(∠DFE＋∠DEF)
＝180°－(20°＋80°)
＝180°－100°
＝80°
となります。
∠EDF＝80°＝∠DEFであるため、⊿DEFは、∠DFEを頂角とした二等辺三角形であることが分かり、二等辺三角形の頂角を挟む2辺は等辺であるため、
辺DF＝辺EF
であることが分かります。
∠CEF＝180°－(∠AEB＋∠DEF)
＝180°－(60°＋80°)
＝180°－140°
＝40°
であり、
∠ECF＝∠ACB
＝180°－({80°＋20°}＋{20°＋20°})
＝180°－(100°＋40°)
＝180°－140°
＝40°
です。
⊿CEFは、∠CEF＝40°＝∠ECFであるため、∠CFEを頂角とした二等辺三角形であることが分かります。頂角を挟む2辺は等辺であるため、∠CFEを挟む二辺である辺CEと辺CFの関係は
辺CE＝辺CF
となります。
また、辺EF＝辺DFであるので、
辺CF＝辺EF＝辺DF
となります。
⊿CDFは、辺CFと辺DFを等辺とした二等辺三角形であることが分かります。
辺CFと辺DFが挟む∠CFDが⊿CDFの頂角に当たり、その大きさは
∠CFD＝180°－∠BFD
＝180°－60°
＝120°
です。
二等辺三角形である⊿CDFのうち、∠CFDが頂角に当たるので、残りの∠CDFと∠DCFが底角に当たります。そのため、∠CDFと∠DCFの関係は
∠CDF＝∠DCF
であることが分かり、その大きさは
∠CDF＝∠DCF
＝(180°－120°)÷2
＝60°÷2
＝30°
であることが分かります。
Xの角度は、
∠ACB－∠DCF＝40°－30°
＝10°
よって、
X＝10°
が答えとなります。
