マクローリン展開とゼータ関数の一次結合
すっごーく短い記事です。
でも超面白いかもしれないことが書いてあるから見ていってねー♪
証明、収束条件、総和の交換条件とか何も書いてないからそう言った事が受け付けない人にはお勧めできなかもです。
ある区間$[0,1]$で定義された関数$f_{l}\left(x\right) \hspace{10pt} \left(l \in \mathbb{N}\right)$が次のマクローリン展開：
\begin{equation}
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{ln}x^{n} \hspace{10pt} \left(l \in \mathbb{N}\right)
\end{equation}
できるならば、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}f_{l}\left(\frac{1}{m}\right)
=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\zeta \left(n+2\right) \\
A_{n}=\sum_{l=1}^{\infty}a_{ln}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}f_{l}\left(\frac{1}{m}\right)
&=&\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}a_{ln}\frac{1}{m^{n}}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{l=1}^{\infty}a_{ln}\right)\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{n+2}} \\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\zeta \left(n+2 \right)\\
\end{eqnarray}
\begin{equation}
A_{n}=\sum_{l=1}^{\infty}a_{ln}
\end{equation}
