マクローリン展開とゼータ関数の一次結合

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すっごーく短い記事です。
でも超面白いかもしれないことが書いてあるから見ていってねー♪
証明、収束条件、総和の交換条件とか何も書いてないからそう言った事が受け付けない人にはお勧めできなかもです。

ある区間 $[0, 1]$ で定義された関数 $f_{l} (x) (l \in N)$ が次のマクローリン展開：
$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{l n} x^{n} (l \in N)$
できるならば、次の式が成り立つ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \sum_{l = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} f_{l} (\frac{1}{m}) = \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} ζ (n + 2) \\ A_{n} = \sum_{l = 1}^{\infty} a_{l n} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sum_{l = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} f_{l} (\frac{1}{m}) & = & \sum_{l = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{l n} \frac{1}{m^{n}} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{l = 1}^{\infty} a_{l n}) \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{n + 2}} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} ζ (n + 2) \end{array}$
$A_{n} = \sum_{l = 1}^{\infty} a_{l n}$

投稿日：2024年3月12日

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投稿者

かじゅみ

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ただ趣味で数学をやっている普通の人です。特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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