Barnesの第1補題

留数定理により,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\,ds\\ &=\sum_{0\leq n}\Res_{s=c+n}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\\ &\qquad+\sum_{0\leq n}\Res_{s=d+n}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!}\Gamma(a+c+n)\Gamma(b+c+n)\Gamma(d-c-n)\\ &\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!}\Gamma(a-d+n)\Gamma(b-d+n)\Gamma(c-d-n)\\ &=\Gamma(a+c)\Gamma(b+c)\Gamma(d-c)\F21{a+c,b+c}{1+c-d}1+\Gamma(a+d)\Gamma(b+d)\Gamma(c-d)\F21{a+d,b+d}{1+d-c}1\\ &=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(b+c)\Gamma(d-c)\Gamma(1+c-d)\Gamma(1-a-b-c-d)}{\Gamma(1-a-d)\Gamma(1-b-d)}\\ &\qquad +\frac{\Gamma(a+d)\Gamma(b+d)\Gamma(c-d)\Gamma(1+d-c)\Gamma(1-a-b-c-d)}{\Gamma(1-a-c)\Gamma(1-b-c)}\\ &=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}\frac{\sin\pi(a+d)\sin\pi(b+d)-\sin\pi(a+c)\sin\pi(b+c)}{\sin\pi(d-c)\sin\pi(a+b+c+d)}\\ &=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)} \end{align}
となって示される.

Mellin逆変換公式より,
\begin{align} F(s)&=\int_0^{\infty}x^{s-1}f(x)\,dx\\ G(s)&=\int_0^{\infty}x^{s-1}g(x)\,dx\\ \end{align}
とするとき,
\begin{align} \int_0^{\infty}f(x)g(x)\,dx&=\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}g(x)\int_{-i\infty}^{i\infty}F(t)x^{-t}\,dt\,dx\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(t)G(1-t)\,dt \end{align}
が成り立つ. よって,
\begin{align} f(x)&=\frac{x^b}{(1+x)^a}\\ g(x)&=\frac{x^c}{(1+x)^d} \end{align}
とすると, ベータ積分より,
\begin{align} F(s)=\frac{\Gamma(b+s)\Gamma(a-b-s)}{\Gamma(a)}\\ G(s)=\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(c-d-s)}{\Gamma(c)} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{\Gamma(b+d+1)\Gamma(a+c-b-d-1)}{\Gamma(a+c)}\\ &=\int_0^{\infty}\frac{x^{b+d}}{(1+x)^{a+c}}\,dx\\ &=\frac 1{2\pi i\Gamma(a)\Gamma(c)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(b+s)\Gamma(a-b-s)\Gamma(1+d-s)\Gamma(c-d-1+s)\,ds \end{align}
を得る. よって, 文字を適当に置き換えることによって,
\begin{align} \frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\,ds&=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)} \end{align}
が得られる.