Jacobi多項式を用いて5F4のDougallの和公式を示す

Pochhammer記号を, $(a{)}_n:=\prod _{k=0}^{n-1}(a+k)$とする. ${}_5{F}_4$のDougallの和公式は,
$$\begin{array}{rl}{}_5{F}_4[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d\end{array};1]& =\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d{)}_n}{a(1+a-b,1+a-c,1+a-d{)}_{n}n!}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}\end{array}$$
であり, 今回はこれをJacobi多項式を用いて示す. まずJacobi多項式は,
$$\begin{array}{r}{P}_n^{(a,b)}(x):=\frac{(a+1{)}_n}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n+1{)}_k}{k!(a+1{)}_k}{\left(\frac{1-x}{2}\right)}^k\end{array}$$
によって定義される. これは区間$(-1,1)$における重み関数$w(x)=(1-x{)}^a(1+x{)}^b$の直交多項式であり, 以下の直交性を満たすことが知られている.
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1(1-x{)}^a(1+x{)}^b{P}_m^{(a,b)}(x)P_n^{(a,b)}(x)dx& =\frac{2^{a+b+1}}{2n+a+b+1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+a+1)\mathrm{\Gamma }(n+b+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+a+b+1)n!}{\delta }_{n,m}\end{array}$$
多くの人にとって, ベータ積分は
$$\begin{array}{r}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}\end{array}$$
という形の方が馴染みがあると思われるので, 区間$(0,1)$で重み関数$t^{a-1}(1-t{)}^{b-1}$となるように変形したJacobi多項式を
$$\begin{array}{rl}{\rho }_n^{(a,b)}(x)& :=(-1{)}^n\frac{(a{)}_n}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1{)}_k}{k!(a{)}_k}{x}^k\end{array}$$
によって定義すると, 直交性は
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}{\rho }_m^{(a,b)}(x){\rho }_n^{(a,b)}(x)dx& =\frac{1}{2n+a+b-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+a)\mathrm{\Gamma }(n+b)}{\mathrm{\Gamma }(n+a+b-1)n!}{\delta }_{n,m}\end{array}$$
という形になる. 少し書き換えると,

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{d-1}(1-x{)}^{a-d}{\rho }_m^{(d,1+a-d)}(x){\rho }_n^{(d,1+a-d)}(x)dx& =\frac{1}{2n+a}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+d)\mathrm{\Gamma }(n+1+a-d)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)n!}{\delta }_{n,m}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}{\mathrm{\Gamma }(a)}\frac{1}{2n+a}\frac{(d,1+a-d{)}_n}{(a{)}_{n}n!}{\delta }_{n,m}\end{array}$$
となる. 次の等式が成り立つ.

上の式を少し変形すると,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{d-1}(1-x{)}^{a-b-d}{\rho }_n^{(d,1+a-d)}(x)dx& =\frac{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)}\frac{(b,d{)}_n}{n!(1+a-b{)}_n}\end{array}$$
となることが分かる. よって,
$$\begin{array}{rl}(1-x{)}^{-b}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,b{)}_n}{(1+a-b,1+a-d{)}_n}{\rho }_n^{(a,1+a-d)}(x)\end{array}$$
とFourier展開できる.
$$\begin{array}{rl}(1-x{)}^{-b}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,b{)}_n}{(1+a-b,1+a-d{)}_n}{\rho }_n^{(a,1+a-d)}(x)\\ (1-x{)}^{-c}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,c{)}_n}{(1+a-c,1+a-d{)}_n}{\rho }_n^{(a,1+a-d)}(x)\end{array}$$
の2つの積に$x^{d-1}(1-x{)}^{a-d}$を掛けて積分すると, 直交性によって,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{d-1}(1-x{)}^{a-b-c-d}dx& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d{)}_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d{)}_{n}n!}\end{array}$$
を得る. よって, 左辺は
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{d-1}(1-x{)}^{a-b-c-d}dx& =\frac{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)}\end{array}$$
であるから, Dougallの和公式
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d{)}_n}{a(1+a-b,1+a-c,1+a-d{)}_{n}n!}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}\end{array}$$
を得る.