Jacobi多項式を用いて5F4のDougallの和公式を示す
Pochhammer記号を, $(a)_n:=\prod_{k=0}^{n-1}(a+k)$とする. ${}_5F_4$のDougallの和公式は,
\begin{align*}
\F54{a,1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2, 1+a-b,1+a-c,1+a-d}{1}&=\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{a(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_nn!}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}
\end{align*}
であり, 今回はこれをJacobi多項式を用いて示す. まずJacobi多項式は,
\begin{align*}
P_n^{(a,b)}(x):=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n+1)_k}{k!(a+1)_k}\left(\frac{1-x}2\right)^k
\end{align*}
によって定義される. これは区間$(-1,1)$における重み関数$w(x)=(1-x)^a(1+x)^b$の直交多項式であり, 以下の直交性を満たすことが知られている.
\begin{align*}
\int_{-1}^1(1-x)^{ a}(1+x)^{ b}P_m^{( a, b)}(x)P_n^{( a, b)}(x)\,dx&=\frac{2^{ a+ b+1}}{2n+ a+ b+1}\frac{\Gamma(n+ a+1)\Gamma(n+ b+1)}{\Gamma(n+ a+ b+1)n!}\delta_{n,m}\\
\end{align*}
多くの人にとって, ベータ積分は
\begin{align*}
\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align*}
という形の方が馴染みがあると思われるので, 区間$(0,1)$で重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$となるように変形したJacobi多項式を
\begin{align*}
\rho^{( a,b)}_n(x)&:=(-1)^n\frac{( a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n, a+b+n-1)_k}{k!( a)_k}x^k\\
\end{align*}
によって定義すると, 直交性は
\begin{align*}
\int_0^1x^{ a-1}(1-x)^{ b-1}\rho_m^{( a, b)}(x)\rho_n^{( a, b)}(x)\,dx&=\frac{1}{2n+ a+ b-1}\frac{\Gamma(n+ a)\Gamma(n+ b)}{\Gamma(n+ a+ b-1)n!}\delta_{n,m}
\end{align*}
という形になる. 少し書き換えると,
\begin{align*}
\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{a-d}\rho_m^{(d, 1+a-d)}(x)\rho_n^{(d, 1+a-d)}(x)\,dx&=\frac{1}{2n+ a}\frac{\Gamma(n+ d)\Gamma(n+ 1+a-d)}{\Gamma(n+a)n!}\delta_{n,m}\\
&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(1+a-d)}{\Gamma(a)}\frac{1}{2n+ a}\frac{(d,1+a-d)_n}{(a)_nn!}\delta_{n,m}\\
\end{align*}
となる. 次の等式が成り立つ.
\begin{align*} \int_0^1x^{ a-1}(1-x)^{ c-1}\rho_n^{( a, b)}(x)\,dx&=\frac{\Gamma( a)\Gamma( c)}{\Gamma( a+ c)}\frac{( a, b- c)_n}{n!( a+ c)_n} \end{align*}
\begin{align*}
\int_0^1x^{ a-1}(1-x)^{ c-1}\rho_n^{( a, b)}(x)\,dx&=\frac{(-1)^n(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\int_0^1\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^{k+a-1}(1-x)^{c-1}\,dx\\
&=\frac{(-1)^n(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}\frac{\Gamma(a+k)\Gamma(c)}{\Gamma(a+c+k)}\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(c)}{\Gamma(a+c)}\frac{(-1)^n(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a+c)_k}
\end{align*}
ここで, Vandermondeの恒等式によって,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a+c)_k}&=\frac{(1-n+c-b)_n}{(a+c)_n}\\
&=\frac{(-1)^n(b-c)_n}{(a+c)_n}
\end{align*}
であることから命題が示される.
上の式を少し変形すると,
\begin{align*}
\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{a-b-d}\rho_n^{(d,1+a-d)}(x)\,dx&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(1+a-b-d)}{\Gamma(1+a-b)}\frac{(b,d)_n}{n!(1+a-b)_n}
\end{align*}
となることが分かる. よって,
\begin{align*}
(1-x)^{-b}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b)_n}{(1+a-b,1+a-d)_n}\rho_n^{(a,1+a-d)}(x)
\end{align*}
とFourier展開できる.
\begin{align*}
(1-x)^{-b}&=\frac{\Gamma(1+a-b-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b)_n}{(1+a-b,1+a-d)_n}\rho_n^{(a,1+a-d)}(x)\\
(1-x)^{-c}&=\frac{\Gamma(1+a-c-d)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,c)_n}{(1+a-c,1+a-d)_n}\rho_n^{(a,1+a-d)}(x)
\end{align*}
の2つの積に$x^{d-1}(1-x)^{a-d}$を掛けて積分すると, 直交性によって,
\begin{align*}
\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{a-b-c-d}\,dx&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(d)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_nn!}
\end{align*}
を得る. よって, 左辺は
\begin{align*}
\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{a-b-c-d}\,dx&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b-c-d)}
\end{align*}
であるから, Dougallの和公式
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{a(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_nn!}&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}
\end{align*}
を得る.
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