自作問題あなぐら 2（複素数平面上の領域と極限）

　$\theta = \dfrac{2 \pi}{3}$とすると，$D_n = \left\{Z \in \mathbb{C} \mid p^n \leqq |Z| \leqq 1, \ n \theta \leqq \arg{Z} \leqq 2 n \theta\right\}$である．$\arg{Z}$の最大値と最小値の差は$2 n \theta - n \theta = n \theta$ゆえ，これが$2 \pi$を超えるのは$n \geqq 3$のとき．したがって
$$ D_n = \begin{cases} \{Z \in \mathbb{C} \mid p^n \leqq |Z| \leqq 1, \ n \theta \leqq \arg{Z} \leqq 2 n \theta\} & (n = 1,\ 2), \\ \\ \{Z \in \mathbb{C} \mid p^n \leqq |Z| \leqq 1, \ 0 \leqq \arg{Z} \leqq 2 \pi\} & (n \geqq 3) \end{cases} $$
となる．よって$n \leqq 2$のとき
$$ S_n = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot n \theta - \frac{1}{2} \cdot (p^n)^2 \cdot n \theta = \frac{n \pi (1 - p^{2n})}{3} $$
で，$n \geqq 3$のとき
$$ S_n = \pi \cdot 1^2 - \pi \cdot (p^n)^2 = \pi (1 - p^{2 n}). $$
以上より
$$ S_n = \begin{cases} \dfrac{n \pi (1 - p^{2n})}{3} & (n = 1,\ 2), \\ \pi (1 - p^{2 n}) & (n \geqq 3). \end{cases} $$
　また，$n \to \infty$を考えるためには，$n \geqq 3$の場合を考えれば十分．よって
$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \pi. $$