自作問題あなぐら 2（複素数平面上の領域と極限）

問題

　 $p$ を $0 < p < 1$ をみたす定数とする．条件
$p ≦ | z | ≦ 1, \frac{2 π}{3} ≦ \arg z ≦ \frac{4 π}{3}$
をみたす複素数 $z$ を考える．自然数 $n$ に対して，点 $z^{n}$ が複素数平面上で動く範囲を $D_{n}$ とするとき， $D_{n}$ の面積 $S_{n}$ と $lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ．

余話

　この問題は，複素関数論の講義を受けたときに「そういえば高校生の時に解いてた複素数平面と極限の問題って，漸化式とか点列の問題ばっかだったよな～．複素数平面上の領域と極限で問題つくってみるか～」というノリで作りました．~~まあ，この問題も数列の極限に帰着するんですけどね~~

解答

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　 $θ = \frac{2 π}{3}$ とすると， $D_{n} = {Z \in C ∣ p^{n} ≦ | Z | ≦ 1, n θ ≦ \arg Z ≦ 2 n θ}$ である． $\arg Z$ の最大値と最小値の差は $2 n θ - n θ = n θ$ ゆえ，これが $2 π$ を超えるのは $n ≧ 3$ のとき．したがって
$D_{n} = {\begin{cases} {Z \in C ∣ p^{n} ≦ | Z | ≦ 1, n θ ≦ \arg Z ≦ 2 n θ} & (n = 1, 2), \\ {Z \in C ∣ p^{n} ≦ | Z | ≦ 1, 0 ≦ \arg Z ≦ 2 π} & (n ≧ 3) \end{cases}$
となる．よって $n ≦ 2$ のとき
$S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot n θ - \frac{1}{2} \cdot (p^{n})^{2} \cdot n θ = \frac{n π (1 - p^{2 n})}{3}$
で， $n ≧ 3$ のとき
$S_{n} = π \cdot 1^{2} - π \cdot (p^{n})^{2} = π (1 - p^{2 n}) .$
以上より
$S_{n} = {\begin{cases} \frac{n π (1 - p^{2 n})}{3} & (n = 1, 2), \\ π (1 - p^{2 n}) & (n ≧ 3) . \end{cases}$
　また， $n \to \infty$ を考えるためには， $n ≧ 3$ の場合を考えれば十分．よって
$lim_{n \to \infty} S_{n} = π .$