漸化式の解法

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こんにちは．今回は次の形をしている漸化式の解法について説明します．
$a_{n + 1} = p a_{n} + f (n)$
まず， $f (n)$ さえなければ簡単なのに…と思いますよね？
実はこれは $f (n) = 0$ であるような問題に帰着させて解くことが出来ます．
特殊解 ${b_{n}}$ が見つかったとしましょう．
$b_{n + 1} = p b_{n} + f (n)$ が成り立つので，上の式は
$a_{n + 1} - b_{n + 1} = p (a_{n} - b_{n})$
と変形できます．これで帰着できました．
あとは容易に $a_{n} = p^{n - 1} (a_{1} - b_{1}) + b_{n}$ だとわかりますね．ここで，その特殊解はどうやって見つけるの？といった疑問が出てくると思います．
その問いへの答えは，「 $f (n)$ の形を見れば特殊解の形も想像がつくから．」です．例えば $f (n)$ が一次式だとすると，私なら一次式の特殊解がありそうだなと思います。
では実際に問題を解いてみましょう．

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + n + 1$
で定義される数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

まずは特殊解を見つけましょう．一次式で見つかりそうなので， $a_{n} = p n + q$ が特殊解だとしてみます．
これを与えられた式に代入して，
$p n + p + q = (2 p + 1) n + 2 q + 1$
係数比較すると $p = - 1, q = - 2$
これで， $a_{n} = - n - 2$ は特殊解であるということがわかりました．
したがって，
$a_{n} = 2^{n - 1} (1 - (- 1 - 2)) - n - 2 = 2^{n + 1} - n - 2$
と求まります．

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 5^{n}$
で定義される数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

$a_{n} = p \cdot 5^{n}$ の形の特殊解がありそうですね．
実際， $p = 1 / 2$ とすればいいですね．
したがって，
$a_{n} = 3^{n - 1} (2 - \frac{1}{2} \cdot 5) + \frac{1}{2} \cdot 5^{n} = \frac{1}{2} (- 3^{n - 1} + 5^{n})$
と求まります．