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漸化式の解法

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こんにちは.今回は次の形をしている漸化式の解法について説明します.
$$a_{n+1}=pa_n+f(n)$$
まず,$f(n)$さえなければ簡単なのに…と思いますよね?
実はこれは$f(n)=0$であるような問題に帰着させて解くことが出来ます.
特殊解$\{b_n\}$が見つかったとしましょう.
$b_{n+1}=pb_n+f(n)$が成り立つので,上の式は
$$a_{n+1}-b_{n+1}=p(a_n-b_n)$$
と変形できます.これで帰着できました.
あとは容易に$a_n=p^{n-1}(a_1-b_1)+b_n$だとわかりますね.ここで,その特殊解はどうやって見つけるの?といった疑問が出てくると思います.
その問いへの答えは,「$f(n)$の形を見れば特殊解の形も想像がつくから.」です.例えば$f(n)$が一次式だとすると,私なら一次式の特殊解がありそうだなと思います。
では実際に問題を解いてみましょう.

$$a_1=1, a_{n+1}=2a_n +n+1$$
で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.

まずは特殊解を見つけましょう.一次式で見つかりそうなので,$a_n=pn+q$が特殊解だとしてみます.
これを与えられた式に代入して,
$$pn+p+q=(2p+1)n+2q+1$$
係数比較すると$p=-1,q=-2$
これで,$a_n=-n-2$は特殊解であるということがわかりました.
したがって,
$$a_n=2^{n-1}(1-(-1-2))-n-2 =2^{n+1}-n-2$$
と求まります.

$$a_1=2, a_{n+1}=3a_n +5^n$$
で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.

$a_n=p\cdot 5^n$の形の特殊解がありそうですね.
実際,$p=1/2$とすればいいですね.
したがって,
$$a_n=3^{n-1}(2-\dfrac{1}{2}\cdot 5)+\dfrac{1}{2}\cdot 5^n =\dfrac{1}{2}(-3^{n-1}+5^n)$$
と求まります.

まとめ

①特殊解を探す
$a_{n+1}=pa_n$の形に変形する
③解く

以上です.ここまで読んでくださりありがとうございました.

投稿日:2023821
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