漸化式の解法

こんにちは．今回は次の形をしている漸化式の解法について説明します．
$$a_{n+1}=pa_n+f(n)$$
まず，$f(n)$さえなければ簡単なのに…と思いますよね？
実はこれは$f(n)=0$であるような問題に帰着させて解くことが出来ます．
特殊解$\{b_n\}$が見つかったとしましょう．
$b_{n+1}=pb_n+f(n)$が成り立つので，上の式は
$$a_{n+1}-b_{n+1}=p(a_n-b_n)$$
と変形できます．これで帰着できました．
あとは容易に$a_n=p^{n-1}(a_1-b_1)+b_n$だとわかりますね．ここで，その特殊解はどうやって見つけるの？といった疑問が出てくると思います．
その問いへの答えは，「$f(n)$の形を見れば特殊解の形も想像がつくから．」です．例えば$f(n)$が一次式だとすると，私なら一次式の特殊解がありそうだなと思います。
では実際に問題を解いてみましょう．

まずは特殊解を見つけましょう．一次式で見つかりそうなので，$a_n=pn+q$が特殊解だとしてみます．
これを与えられた式に代入して，
$$pn+p+q=(2p+1)n+2q+1$$
係数比較すると$p=-1,q=-2$
これで，$a_n=-n-2$は特殊解であるということがわかりました．
したがって，
$$a_n=2^{n-1}(1-(-1-2))-n-2 =2^{n+1}-n-2$$
と求まります．

$a_n=p\cdot 5^n$の形の特殊解がありそうですね．
実際，$p=1/2$とすればいいですね．
したがって，
$$a_n=3^{n-1}(2-\dfrac{1}{2}\cdot 5)+\dfrac{1}{2}\cdot 5^n =\dfrac{1}{2}(-3^{n-1}+5^n)$$
と求まります．

以上です．ここまで読んでくださりありがとうございました．