コラッツ予想を肯定する証明（第三報）

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コラッツ予想を肯定する証明（第三報）

初めに：　この記事は【コラッツ予想を肯定する証明】や、【コラッツ予想を肯定する証明（第二報）】で $a_{m}^{e}$ の有限判定の計算の間違いを指摘された物を改造したものである。

1 コラッツ演算による一般式の定義

コラッツ演算を次のように定義する。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{m}^{o} := \frac{a_{m}^{e}}{2^{n_{m}}} \dots \dots (a_{m}^{e} が定義されているとき) n_{m} := m a x {n_{m} : \frac{a_{m}^{e}}{2^{n_{m}}} \in N} \\ a_{m + 1}^{e} := 3 a_{m}^{o} + 1 \end{cases} \end{array}$

　つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで $n_{m}$ 回実行されます。このように定義すると、奇数と偶数に分けることができる。ただし、偶数演算の初回は $n_{1}$ 、以下 $n_{2}, n_{3}, \dots$ などとする。
　この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数 $n_{m}$ を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数を $a_{1}^{e}$ とし、次の奇数自然数をを $a_{1}^{o}$ とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、 $a_{m}^{o}$ と $a_{m}^{e}$ になります。
　初めに与えられた自然数が偶数の場合

$a_{1}^{o} = \frac{a_{1}^{e}}{2^{n_{1}}}$

　ここで $n_{1}$ は変数で $n_{1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

$a_{2}^{e} = 3 a_{1}^{o} + 1$

結果として、

$a_{2}^{e} = \frac{3}{2^{n_{1}}} a_{1}^{e} + 1$

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

$a_{m}^{e} = (3^{m - 1} a_{1}^{e} + 3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}) / k_{m - 1}$ （１）

　但し、
$k_{m} = 2^{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}}$
とする。

２ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無

$a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、

$a_{1}^{e} = (3^{1} a_{1}^{e} + 3^{0} k_{1}) / k_{1} ⟹ k_{1} a_{1}^{e} = (3^{1} a_{1}^{e} + 3^{0} k_{1}) ⟹ (k_{1} - 3) a_{1}^{e} = k_{1}$

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)}$

　偶数割る奇数であるから、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} = 2 n$

で、 $k_{1} < 3$ では右辺が負数になるので $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し、 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有るから、 $k_{1} > 3$ を考えれば良い。

$k_{1} = 4$ の場合、

$a_{1}^{e} = \frac{4}{(4 - 3)} = 4$

で有るから、整除されるが、奇数演算が行われる前に $a_{1}^{e}$ は１に収束するから除外されている。依って、 $k_{1} \geq ８$ の場合のみ次の計算に移行できる。

$k_{1} \geq ８$ の場合、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} = 2 n ⟹ k_{1} = 2 n (k_{1} - 3) ⟹ 3 \times 2 n = (2 n - 1) k_{1}$

$\frac{3 \times 2 n}{(2 n - 1)} = k_{1} \geq 8$

$\Rightarrow 3 \times 2 n \geq 8 (2 n - 1) \Rightarrow 3 \times 2 n \geq 16 n - 8 \Rightarrow 8 \geq 16 n - 3 \times 2 n = 10 n$

$\frac{8}{10} = 0.8 \geq n$

で有るので、 $0.8 \geq n$ で有るが、 $n \in N$ で無ければならないので、整除出来ず $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。依って、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4) \Rightarrow a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有る。

$a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$ と仮定すると、

$a_{1}^{e} \neq (3^{1} a_{1}^{e} + 3^{1} k_{1}) / k_{1}$

で有る。

$a_{1}^{e} \neq \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3^{1})}$

で有るから、

$a_{1}^{e} \neq \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3^{1})} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有るなら、恒等的に成り立つ。

$a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ で計算したように、

$\frac{k_{1}}{(k_{1} - 3^{1})} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

は、仮定の条件に関係なくコラッツ演算に従った計算による結果でも有るので、 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ とする仮定は肯定される。

よって、

$a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} \Rightarrow \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} = a_{1}^{e} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有る。

　 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、 $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ と同様に計算される。又、 $k_{2} - 3^{2} < 0$ の場合、

$a_{1}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{(k_{2} - 3^{2})} < 0$ で有るので、 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定が背理し、 $a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。

　 $k_{2} - 3^{2} > 0$ の場合、
$a_{1}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{(k_{2} - 3^{2})}$
は、 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ の続きとして、計算されるが同じ $a_{1}^{e}$ で計算されるので有るから、
$a_{1}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{(k_{2} - 3^{2})} = a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

である。よって、

$\frac{3 k_{1} + k_{2}}{(k_{2} - 3^{2})} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有るので、自然数に整除出来ず、 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。よって、

$a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4) ⟹ a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$
で有る。

$a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ の場合、 $k_{m - 2} - 3^{m - 2} > 0$ と仮定すると、

$a_{1}^{e} \neq (3^{m - 2} a_{1}^{e} + 3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 3} + k_{m - 2}) / k_{m - 2}$

で、

$a_{1}^{e} \neq \frac{3^{m - 2} a_{1}^{e} + 3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 3} + k_{m - 2}}{(k_{m - 2} - 3^{m - 2})} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

と仮定すると、整除出来ないから、 $a_{1}^{e} \notin N$ で仮定は肯定される。

又、 $k_{m - 2} - 3^{m - 2} < 0$ の場合、 $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ の仮定は肯定される。

$a_{m}^{e} = a_{1}^{e}$ の場合、

$a_{1}^{e} = \frac{3^{m - 1} k_{1} + 3^{m - 2} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})}$

は、 $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ と同じ $a_{1}^{e}$ の続きとして計算されるから、

$a_{1}^{e} = \frac{3^{m - 1} k_{1} + 3^{m - 2} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})}$

$= a_{1}^{e} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有るから、自然数に整除出来ず、

$a_{1}^{e} = \frac{3^{m - 1} k_{1} + 3^{m - 2} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})} \notin N (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$

で有るので、 $a_{m}^{e} = a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$ とする仮定は背理し $a_{m}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4)$ で有る。

　よって、 $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4) ⟹ a_{m}^{e} (a_{1}^{e} : a_{1}^{e} \neq 4) \neq a_{1}^{e}$ で有るから、数学的帰納法により循環数列は無い。

３収束

３－１　増減状態の確認

一般式式から、

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{n_{m - 1}}} a_{m - 1}^{e} + 1$

$2^{n_{m - 1}} = 1$ で、

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{1}} a_{m - 1}^{e} + 1$

で、 $a_{m - 1}^{e} = 2 i$ とすると、

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{1}} 2 i + 1 = 3 i + 1$

で有るから、 $i = 2 j - 1$ の奇数で無ければ成らない。

$a_{m}^{e} = 3 i + 1 = 3 (2 j - 1) + 1 = 6 j - 3 + 1 = 6 j - 2$

　 $a_{m - 1}^{e} = 2 (2 j - 1)$ で有るから、 $a_{m - 1}^{e} = 4 j - 2$ と成り、増大する。

$n_{m - 1} = 2 \land a_{m - 1}^{e} = 2 i$ とすると、

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{2}} 2 i + 1 = \frac{3 i + 2}{2}$

　 $i = 2 j$ の偶数で無ければ右辺が偶数に成らない。

$a_{m}^{e} = \frac{3 i + 2}{2} = \frac{3 \times 2 j + 2}{2} = \frac{6 j + 2}{2} = 3 j + 1$

　依って、 $j = 2 k - 1$ で無ければ右辺が偶数に成らない。

$a_{m}^{e} = 3 j + 1 = 3 (2 k - 1) + 1 = 6 k - 2$

　依って、 $a_{m - 1}^{e} = 2 i = 4 j = 4 (2 k - 1) = 8 k - 4$ と成り、 $a_{m}^{e} < a_{m - 1}^{e}$ で有るから、減少する。

$n_{m - 1} > 2 \land a_{m - 1}^{e} = 2 i$ とすると、

$a_{m}^{e} < \frac{3}{2^{2}} 2 i + 1 = \frac{3 i}{2} + 1 = \frac{3 i + 2}{2} = 1.5 i + 1$

　依って、 $a_{m}^{e} \leq a_{m - 1}^{e}$ 有るので、で減少する。

　この様な増減の中で減少する場合でも増大する場合でもコラッツ演算を続けると循環数は無い事から $a_{m}^{e}$ は全て違う値であるので、必ず $a_{m}^{e} = 2^{n}$ になる事が有るだろうと思われる。

３－２　収束の確認

$a_{m}^{e} = 2^{n}$ で有れば、次の割り算で必ず１に収束する。
　 $a_{m}^{e} = 2 i$ で表し、 $a_{m}^{e} = 2^{n}$ とすると、 $2 i = 2^{n}$ で有るから、 $i = 2^{n - 1}$ となり、無限にある自然数 $i \in N$ に対して、 $2^{n - 1}$ も無限（無限大の濃度の定義）に有る。依って、コラッツ演算は必ず１に収束する。

４　結論

　循環数列の無い事と１に収束する事によってコラッツ予想を肯定した。

投稿日：2024年10月20日

更新日：2024年10月26日

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1986

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