n乗和の公式が導けるかも？

こんちくは

こんにちは。なんと、高校への登校や部活による疲労が溜まりついには免疫が決壊して風邪をひきました。喉だけがらっがらです。久々に体がボロボロになりましたね。まあ、数学はするんですけど。

何をするの？

今回の記事は日常でんがんさんのYouTubeに上がっている こちらの動画 から発想を得ています。三問目の解き方の発想を用いれば、三乗和や四乗和も公式化できるのではないかという考えです。実際にやっていきましょー

本題

二乗和

とある自然数kに対して、
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx=k^2 \end{align*}
となるような整式$f(x)$が求まればよいですね。右辺は二次式だし、$f(x)$は一次式かな？と思うかもしれませんが、実はそれだと二乗の項が打ち消し合うのだダメです。このことを踏まえて$f(x)$を二次式ととらえ、次の様に置きます。
\begin{align*} f(x)=ax^2+bx+c \end{align*}
これで積分を解いてみましょう。
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx&=\int_{l}^{l+1}ax^2+bx+c\:dx\\ &=\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{k}^{k+1}\\ &=ak^2+\left(a+b\right)k+\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right)\\ &=k^2 \end{align*}
これより、$a,b,c$に関して次の連立方程式が成り立ちます。
\begin{align*} \begin{cases} a=1\\ a+b=0\\ \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c=0 \end{cases} \end{align*}
まあ、これは考えなくとも$a=1,b=-1,c=\dfrac{1}{6}$と分かりますね。
さて、いま求めたかったのは二乗和の公式でした。この積分を用いると、実は簡単に求まることがわかります。
なぜなら、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}x^2-x+\frac{1}{6}dx \end{align*}
が成り立つからです！定積分の性質を考えれば$\displaystyle\sum$は消えてくれますね。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^2&=\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}x^2-x+\frac{1}{6}dx\\ &=\int_{1}^{n+1}x^2-x+\frac{1}{6}dx\\ &=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x\right]_{1}^{n+1}\\ &=\frac{1}{3}(n^3+3n^2+3n+1)-\frac{1}{2}(n^2+2n+1)+\frac{1}{6}(n+1)-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\ &=\frac{1}{6}(2n^3+6n^2+6n+2-3n^2-6n-3+n+1)\\ &=\frac{n}{6}(2n^2+3n+1)\\ &=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1) \end{align*}
このように、ただの積分を解くだけで導くことができてしまいました。
この先、少しこれで遊びましょう。

三乗和

二乗和のときの様に
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx=k^3 \end{align*}
となる整式$f(x)$を考えます。また、先ほどと同様、$f(x)$が二次式だと$k^3$が打ち消し合ってしまうため、$f(x)$は三次式であることがわかります。これを踏まえ、
\begin{align*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{align*}
と置いて積分を計算しましょう。
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx&=\int_{k}^{k+1}ax^3+bx^2+cx+d\:dx\\ &=\left[\frac{a}{4}x^4+\frac{b}{3}x^3+\frac{c}{2}x^2+dx\right]_{k}^{k+1}\\ &=ak^3+\left(\frac{3}{2}a+b\right)k^2+\left(a+b+c\right)k+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{c}{2}+d\right) \end{align*}
同様に連立方程式を解くと、$a=1,b=-\dfrac{3}{2},c=\dfrac{1}{2},d=0$
そして、ここで三乗和の式を変形し、求めた$f(x)$を使い積分を計算しましょう。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^3&=\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}f(x)dx\\ &=\int_{1}^{n+1}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}xdx\\ &=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2\right]_{1}^{n+1}\\ &=\frac{1}{4}(n^4+4n^3+6n^2+4n+1-2n^3-6n^2-6n-2+n^2+2n+1)\\ &=\frac{n^2}{4}(n^2+2n+1)\\ &=\frac{n^2}{4}(n+1)^2 \end{align*}
いいですね～。どんどん求まっていきます。次はやはり、求めたいですよね！n乗和の公式。

n乗和

今までと同様、次の積分を考えます。
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx=k^n \end{align*}
また同様に、$f(x)$は$n$次多項式で、次の様に置きます。
\begin{align*} f(x)=\sum_{m=0}^{n}a_{m}x^m \end{align*}
これを積分に代入して、計算してみましょう。
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx&=\int_{k}^{k+1}\left(\sum_{m=0}^{n}a_{m}x^m\right) dx\\ &=\sum_{m=0}^{n}a_{m}\int_{k}^{k+1}x^{m}dx\\ &=\sum_{m=0}^{n}\frac{a_{m}}{m+1}\left\{(k+1)^{m+1}-k^{m+1}\right\} \end{align*}
ここで、二項定理と因数分解の公式を用いてさらに変形していきましょう。
\begin{align*} \int_{k}^{k+1}f(x)dx&=\sum_{m=0}^{n}\frac{a_{m}}{m+1}\sum_{r=1}^{m+1}\binom{m+1}{r}k^{m+1-r}\\ &=\sum_{m=0}^{n}\sum_{r=1}^{m+1}\frac{a_{m}}{m+1}\binom{m+1}{r}k^{m+1-r}\\ &=\sum_{m=0}^{n}a_{m}m!\sum_{r=1}^{m+1}\frac{k^{m+1-r}}{(m+1-r)!r!} \end{align*}
ナニコレ？
ここからどうすればいいんだろう...
ちょ、どーしょーもできません。有識者の方お願いしました(丸投げ)
締まらない終わり方になってしまう...!!
高校の昼休みに突然例の動画を思い出して式をいじってみましたが、無理そうですね...

おわり

くやし～！！
てか、実際の$n$乗和の公式ってどんなのなんでしょうか。
wikiより
これ によると図1が$n$乗和の公式らしいです。なんか似てる？(ベルヌーイ数が出てくるとか初耳ですが)
おかしいな、今までこの手の問題で$n$について一般化を完走できた経験がない。まだまだ勉強が足りないようですね。ほな、さいなら！