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一致の定理によるq超幾何級数の和公式の証明

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超幾何級数の和公式は, 有限和の場合には証明が簡単になることがある. 例えばGaussの超幾何定理
0n(a,b)nn!(c)n=Γ(c)Γ(cab)Γ(ca)Γ(cb)
a=Nが正でない整数の場合Vandermondeの恒等式と呼ばれる
n=0N(b,N)nn!(c)n=(cb)N(c)N
という形になる. このように, 有限和になる超幾何級数はterminatingであると呼ばれ, それに対する無限和のものはnon-terminatingであると呼ばれる. c1Ncに置き換えて両辺に(c)NN!を掛けるとこれは
n=0N(b)nn!(c)Nn(Nn)!=(b+c)NN!
となって, 一般二項定理(1x)a=0n(a)nn!xnにより
(1x)b(1x)c=(1x)bc
の両辺の係数を比較することにより示すことができる.

Vandermondeの恒等式は
0n(a,b)nn!(c)n=Γ(c)Γ(c+ab)Γ(c+a)Γ(cb)
は全ての非負整数a=0,1,2,で成り立つことを意味している. ここで, 複素解析において以下の定理があったことを思い出す.

一致の定理

領域DC上で正則な複素関数f(x),g(x)Dで集積点を持つような点列(xn)n0の上で一致するならば, D全体でf(x)=g(x)である.

先ほどの状況だと, 点列0,1,2,は集積点を持たないので, 一致の定理は使えない. しかし, q類似で同じことを考えると, q-Vandermondeの恒等式
0n(qN,b;q)n(c,q;q)n(cqNb)n=(c/b;q)N(c;q)N
は次の等式がa=q0,q1,q2,
0n(a1,b;q)n(c,q;q)n(acb)n=(c/b,ac;q)(c,ac/b;q)
で成り立つことを意味している. 点列(qn)n00を集積点に持つから, 両辺がa=0において正則であることが分かればこの等式はa=0の近傍で成り立つことになり, それは解析接続によって両辺が収束する範囲に拡張される. 右辺がa=0において正則であるのは明らかである. 左辺に関しても, (a1;q)nan=k=0n=1(aqk)と書けることから, 正則であることが分かる.
よって, q-Vandermondeの和公式は一般のaに拡張され, a1aに置き換えると, q-Vandermondeの和公式から以下が示せたことになる.

Heineの和公式

0n(a,b;q)n(c,q;q)n(cab)n=(c/a,c/b;q)(c,c/ab;q)

次に, 同じ方法をRogersの6ϕ5和公式に対して試してみる. TerminatingなRogersの6ϕ5和公式は非負整数Nに対して,

0n(1aq2n)(a,b,c,qN;q)n(1a)(q,aq/b,aq/c,aqN+1;q)n(aqN+1bc)n=(aq,aq/bc;q)N(aq/b,aq/c;q)N
と表される. これは,
0n(1aq2n)(a,b,c,d1;q)n(1a)(q,aq/b,aq/c,adq;q)n(adqbc)n=(aq,aq/bc,adq/b,adq/c;q)(aq/b,aq/c,adq,adq/bc;q)
d=q0,q1,q2,に対して成り立つことを意味しており, 両辺はd=0において正則であるから, この等式はd=0のまわりで成り立つ. 解析接続により, より一般のdに関しても成立する. つまり, d1として以下が得られたことになる.

Rogersの6ϕ5和公式

0n(1aq2n)(a,b,c,d;q)n(1a)(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)n(aqbcd)n=(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)

上の2つの例において, この方法は上手くいった. しかし, あらゆるterminatingな和公式がこの方法によってnon-terminatingに一般化されるわけではない. 例えば, q-Vandermondeの恒等式にはもう一つの形
0n(b,qN;q)n(c,q;q)nqn=(c/b;q)N(c;q)NbN
がある. 右辺にbNがついていることを考えると, a=qNの場合に右辺に一致するようなものを考えようとすると, 自然なものとしては
(q/c,bq/ac;q)(q/ac,bq/c;q)
のようになるだろう. しかし, これらはa=0において正則ではないので一致の定理は使えない. 左辺も同様に拡張を試みると,
0n(a1,b;q)n(c,q;q)nqn
となるが, 先ほどは(a1;q)nanだったので, 正則だったが, 今度はanが掛かっていないので正則にならない. いずれにしてもこの方法でnon-terminatingに拡張するのは難しそうである. しかし, 上のq-Vandermondeの恒等式には以下のようなnon-terminatingへの拡張は知られている.
0n(a,b;q)n(c,q;q)nqn+(q/c,a,b;q)(c/q,aq/c,bq/c;q)0n(aq/b,bq/c;q)n(q2/c,q;q)qn=(q/c,abq/c;q)(aq/c,bq/c;q)
それはnon-terminating q-Vandermondeの恒等式と呼ばれている. このように, 一致の定理による方法では上手くいかない場合もあるが, 古典的な場合には使えなかった一致の定理がq類似で考えると使えることがあるというのは興味深いと思う.

投稿日:21日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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